2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第3讲 导数的综合应用（B）限时训练 文

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1、2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第3讲 导数的综合应用（B）限时训练 文【选题明细表】知识点、方法题号导数与不等式1,2,3导数与函数零点41.(2018广西三市第二次调研)设函数f(x)=x2+ax-ln x(aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a(3,4)及任意x1,x21,2,恒有+ln 2|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+),当a=1时,f(x)=x-ln x,f(x)=1-=.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)极小值=f(1)=1,无极大值.(2)f(

2、x)=(1-a)x+a-=,当a(3,4)时,f(x)在1,2上单调递减,f(1)是最大值,f(2)是最小值.所以|f(x1)-f(x2)|f(1)-f(2)=-+ln 2,所以+ln 2-+ln 2,因为a(3,4),所以m,由3a4得01时,(x+1)(x+)f(x)2(1+).(1)解:f(x)=的定义域为(0,+),且f(x)=.由f(x)01-ln x-a0ln x1-a0x00x2(1+)等价于.令p(x)=,则p(x)=,令(x)=x-ln x,则(x)=1-=,因为x1,所以(x)0,所以(x)在(1,+)上单调递增,(x)(1)=10,p(x)0,所以p(x)在(1,+)上单

3、调递增,所以p(x)p(1)=2,所以,令h(x)=,则h(x)=,因为x1,所以1-ex0,所以h(x)1时,h(x)h(x),即(x+1)(x+)f(x)2(1+).3.(2018福建南平5月质检)已知函数f(x)=aeln x和g(x)=x2-(a+e)x(a0).(1)设h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调区间;(2)当x(,+)时,M为函数f(x)=aeln x图象与函数m(x)=2-图象的公共点,且在点M处有公共切线,求点M的坐标及实数a的值.解:(1)h(x)=aeln x+x2-(a+e)x(x0),h(x)=+x-(a+e)=.当0a0,函数h(x)在(0,a)

4、上单调递增,在x(a,e)时,h(x)0,函数h(x)在(e,+)上单调递增,当a=e,在x(0,+)时,h(x)0,函数h(x)在(0,+)上单调递增,当ae,在x(0,e)时,h(x)0,函数h(x)在(0,e)上单调递增,在x(e,a)时,h(x)0,函数h(x)在(a,+)上单调递增.综上,当0ae时,函数h(x)的单调递增区间是(0,e),(a,+);单调递减区间是(e,a).(2)设点M(x0,y0),x0,在点M(x0,y0)处有公共切线,设切线斜率为k,因为f(x)=,m(x)=,所以k=,即ax0=1,由M(x0,y0)是函数f(x)=aeln x与函数m(x)=2-图象的公

5、共点,所以y0=aeln x0=2-,化简可得aex0ln x0=2x0-e,将ax0=1代入,得eln x0-2x0+e=0,设函数u(t)=eln t-2t+e(t),u(t)=-2=,因为t,所以u(t)0,u(e2)=eln e2-2e2+e=3e-2e2=e(3-2e)0,所以当t(,+)时,u(t)=eln t-2t+e只有一个零点,由u(e)=eln e-2e+e=0,知方程eln x0-2x0+e=0在x0(,+)只有一个实数根x0=e,代入y0=aeln x0=aeln e=ae=1,所以M(e,1),此时a=.4.(2018江西九校联考)已知函数f(x)=xln x+2x2

6、-2.(1)若函数y=g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=e对称,试求y=g(x)在零点处的切线方程;(2)函数h(x)=f(x)-x2-x在定义域内的两极值点为x1,x2,且x1x2,试比较x1与e3的大小,并说明理由.解:(1)令f(x)=0得,xln x+2x2-2=0,显然x=1是y=f(x)的一个零点,又ln x=-2x,在(0,+)上y=ln x为增函数,y=-2x为减函数,所以y=f(x)有且只有一个零点x=1.又f(x)=1+ln x+4x,所以f(1)=5,故y=f(x)在零点处的切线方程为y=5x-5,函数y=g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=e对称,所以y=

7、g(x)的零点为x=2e-1,在此处的切线斜率为-5,所以所求方程为y=-5(x+1-2e).(2)h(x)=f(x)-x2-x=xln x+2x2-2-x2-x=xln x-x2-x-2,h(x)=1+ln x-x-1=ln x-x,所以要比较x1与e3的大小,只需比较ln x1+2ln x2与3的大小.由得=,所以ln x1+2ln x2=(x1+2x2)=,设u(x)=-3(其中x=,x(0,1),u(x)=-3=(ln x-),由y=ln x-,x(0,1,得y=-=0,x(0,1,故y=ln x-,x(0,1为增函数,最大值为0.所以在(0,1)上,y=ln x-0,因为0,即3,综上所述,x1e3.