数学 第九章 解析几何 9.7 抛物线 文 新人教A版

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1、9 9. .7 7抛物线抛物线-2-3-知识梳理考点自测1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.2.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为;(3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.距离相等 焦点 准线 y2=2px(p0) y2=-2px(p0) x2=2py(p0) x2=-2py(p0) -4-知识梳理考点自测3.抛物线的几

2、何性质 (0,0) y=0 x=0 1 -5-知识梳理考点自测-6-知识梳理考点自测1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则-7-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0). ()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,

3、且其焦点坐标是 . () -8-知识梳理考点自测C3.(2017安徽蚌埠一模,文7)M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则MKO=()A.15 B.30 C.45D.60C-9-知识梳理考点自测4.(2017福建龙岩一模,文14)过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为.5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=.12 -10-考点一考点二考点三考点四考点五抛物线的定义及其应用抛物线的定义及

4、其应用 CB-11-考点一考点二考点三考点四考点五-12-考点一考点二考点三考点四考点五思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离-13-考点一考点二考点三考点四考点五对点训练对点训练1(1)(2017河南濮阳一模,文9)抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30 B.25C.20 D.15DC-14-考点一考点二考点三考点四考点五-15-考点一考点二考点三考点四考点五抛物线的

5、方程及几何性质抛物线的方程及几何性质 B D-16-考点一考点二考点三考点四考点五-17-考点一考点二考点三考点四考点五-18-考点一考点二考点三考点四考点五思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.-19-考点一考点二考点三考点四考点五对点训练对点训练2(1)(2017宁

6、夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是()A.x2=12yB.x2=8yC.x2=6yD.x2=4y(2)(2017广西玉林、贵港一模,文15)已知椭圆 与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=2,则p=.B -20-考点一考点二考点三考点四考点五与抛物线相关的最值问题与抛物线相关的最值问题 (2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14

7、C.12 D.10CA-21-考点一考点二考点三考点四考点五-22-考点一考点二考点三考点四考点五-23-考点一考点二考点三考点四考点五-24-考点一考点二考点三考点四考点五思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.-25-考点一考点二考点三考点四考点五D5-26-考点一考点二考点三考点四考点五解析解析: (1)过点M作抛物线y2=2

8、x左准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时点M的坐标为(2,2).(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1作垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,则|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.-27-考点一考点二考点三考点四考点五例4(1)(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若F

9、AC=120,则圆的方程为.抛物线与其他圆锥曲线的综合抛物线与其他圆锥曲线的综合 -28-考点一考点二考点三考点四考点五-29-考点一考点二考点三考点四考点五-30-考点一考点二考点三考点四考点五思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.-31-考点一考点二考点三考点四考点五对点训练对点训练4(1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2

10、=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16xCD-32-考点一考点二考点三考点四考点五-33-考点一考点二考点三考点四考点五-34-考点一考点二考点三考点四考点五直线与抛物线的关系直线与抛物线的关系例5 (2017河南南阳一模,文20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1+k2=k3成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.-35-考

11、点一考点二考点三考点四考点五-36-考点一考点二考点三考点四考点五-37-考点一考点二考点三考点四考点五思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的?解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.-38-考点一考点二考点三考点四考点五对点训练对点训练5

12、(2017福建泉州一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若|AO|=|AF|= .(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l与抛物线C交于点P,Q,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求OPQ的面积的最大值.-39-考点一考点二考点三考点四考点五-40-考点一考点二考点三考点四考点五1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.-41-考点一考点二考点三考点四考点五1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.