2022年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6讲 双曲线讲义 理（含解析）

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1、2022年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6讲 双曲线讲义 理（含解析）考纲解读1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(重点)2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点预测2020年高考会考查：双曲线定义的应用与标准方程的求解；渐近线方程与离心率的求解试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.对应学生用书P1491双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于

2、|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质3必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2y2(0)(3)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直1概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心

3、率等于.()(4)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)已知双曲线y21(a0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dyx答案A解析双曲线y21(a0)两焦点之间的距离为4，2c4，解得c2；c2a214，a；双曲线的渐近线方程是yx，即yx.故选A.(2)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.答案17解析由题意知|PF1|90)的离心率为，则a_.答案4解析由已知，b24，e，即2，又因为a

4、2b2c2，所以，a216，a4.题型 双曲线的定义及应用1若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12答案B解析由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号|PF|PA|的最小值为9.故选B.2已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|P

5、F1|2|PF2|4，则cosF1PF2.条件探究举例说明2中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，求F1PF2的面积解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin602. (1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理

6、的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系 1F1，F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|8，则PF1F2的周长为()A15 B16 C17 D18答案D解析由已知得a3，b，c4，所以|F1F2|2c8.由双曲线的定义可知，|PF1|PF2|2a6，又|PF1|8，所以|PF2|2.所以PF1F2的周长是|PF1|PF2|F1F2|18.2方程 12的化简结果为()A.1 B.1C.1(x0) D.1(x0)答案C解析由已知得点P(x，y)到点F1(10,0)和点F2(10，0)的距离之差为12，显然120)题型 双曲线的标准方

7、程及应用1已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x )B.1(x)C.1(x )D.1(x)答案A解析设动圆的半径为r，由题意可得MC1r，MC2r，所以MC1MC222a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故其标准方程为1(x)2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，

8、2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.求双曲线标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨

9、论也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过Q(，)点，则该双曲线的方程为()Ax21 B.1C.1 D.1答案D解析F1和F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，2bc，即有3c24b23(a2b2)，b23a2；双曲线1过点Q(，)，1，解得a24，b212，双曲线方程为1.故选D.2已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析因为此双曲线的渐近线方程为yx，即y0，所以可设此双曲线方程为y2(0)又因为此双曲线过点(4，

10、)，所以()2，1，所以此双曲线的标准方程为y21.题型 双曲线的几何性质角度1与双曲线有关的范围问题1(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C.D.答案A解析不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a22，b21，c23，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)(y0)(y0)xy3.又知y1，x22y，3y10.y00，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析依题意

11、，注意到题中的双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1，因此题中的双曲线的离心率e，选B.1与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中0等来解决2与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e1.(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线是令0，即得两渐近线方程0.(3)渐近线的斜

12、率也是一个比值，可类比离心率的求法解答 1(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析由题意可知，c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c为半焦距，2c22|m|4，|m|1，方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，m2n3m2，1n0，b0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A2B. C2 D4答案B解析因为双曲线C：1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为yx，所以ab.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a1，所以ab，双曲

13、线C的方程为1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.3(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2 C.D.答案C解析由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e.故选C.题型 直线与双曲线的综合问题已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)若

14、双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.所以SOAB|x1x2|，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.又因为k0，b0)，四点P1(4,2)，P2(2,0)，P3(4,3)，P4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.答案C解析由双曲线的对称性可知P3(4,3)，P4(4,3)在双曲线上，且P1(4,

15、2)一定不在双曲线上，P2(2,0)也在双曲线上，a2，b，c，e.典例2如果双曲线1(a0，b0)两渐近线的夹角是60，则该双曲线的离心率是_答案或2解析易知双曲线的渐近线的斜率是.又两渐近线的夹角为60，则tan30或tan60，即e21或e213，又e1，所以e或e2，故该双曲线的离心率为或2.典例3(2018华南师大附中二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2关于直线yx的对称点为M，若点M在双曲线C上，则双曲线C的渐近线方程为_答案y2x解析设点F2关于直线yx的对称点是M在双曲线的左支上，MF2交渐近线于点N，则|MN|NF2|b，|ON|a，又因为O是F1F2的中点，N是MF2的中点，所以|MF1|2a，又由双曲线的定义知|MF2|MF1|2a，所以2b2a2a2，所以双曲线C的渐近线方程为y2x.