2022年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结讲义含解析湘教版选修2

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1、2022年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结讲义含解析湘教版选修2 1圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)；双曲线方程为Ax2By21(AB0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知.又椭圆1的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根据可知a24，b25，所以C的方程为1.答案：B4抛物线y22px(p0)

2、上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3成等差数列By1，y2，y3成等差数列Cx1，x3，x2成等差数列Dy1，y3，y2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1，|BB|x2，|CC|x3，2x1x32x2x1x3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线ykxm(k0)相交于

3、不同的两点M，N，当|AM|AN|时，求m的取值范围解(1)依题意可设椭圆方程为y21(a1)，则右焦点F(，0)，由题设，知3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21.(2)设点P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求m的取值范围是.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题5设抛物线y24x截直线y2xk所得弦长

4、|AB|3.(1)求k的值；(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x24(k1)xk20，16(k1)216k20，k.又由根与系数的关系有x1x21k，x1x2，|AB|，即3，k4.(2)设x轴上点P(x,0)，P到AB的距离为d，则d，SPAB339，|2x4|26，x15或x11.P点坐标为(15,0)或(11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题例4(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不

5、经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解析(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)(

6、1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决6设椭圆1上的动点P(x，y)，点A(a,0)(0a3)若|AP|的最小值为1，求a的值解：|AP|2(xa)2y2(xa)2424.因为1，所以1,0|x|3.(1)当03，即0a

7、时，x，|AP|2取最小值41.解得a.因为，所以a不存在(2)当3，即a3时，x3，|AP|2取最小值241.解得a2或a4(舍)所以，当a2时，|AP|的最小值为1.7过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线AC经过原点O.证明：如图所示抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，y1y2p2，BCx轴，且点C在准线x上，点C的坐标为，故直线CO的斜率k，即k也是直线OA的斜率，直线AC经过原

8、点O.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A.B.C.D.解析：根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.答案：B2如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(1，)B(1,2)C.D(0,1)解析：由x2ky22，得1，又椭圆的焦点在y轴上，2，即0k1.答案：D3若抛物线x22ay的焦点与椭圆1的下焦点重合，则a的值为()A2B2C4D4解析：椭圆1的下焦点为(0，1)，1，即a2.答案：A4是任意实数，则方程x2

9、y2sin 4的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析：由于R，对sin 的值举例代入判断sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆答案：C5已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12解析：抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.答案：B6设

10、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45，则弦AB的中点坐标为()A(1,0)B(2,2)C(3,2)D(2,4)解析：依题意得，抛物线C的方程是y24x，直线l的方程是yx1.由消去y得(x1)24x，即x26x10.因此线段AB的中点的横坐标是3，纵坐标是y312.所以线段AB的中点坐标是(3,2)答案：C7过双曲线1(a0，b0)的左焦点F(c,0)(c0)作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：设双曲线右焦点为M，OEPF，在直角三角形OEF中，

11、|EF| .又()，E是PF的中点|PF|2，|PM|a.又|PF|PM|2a，2a2a.离心率e.答案：A8已知|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21Bx21C.y21Dx21解析：设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.答案：A9已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|7，则PF1F2最大内角的余弦值为()AB.C.D.解析：由双曲线定义知|PF2|

12、PF1|2a.所以|PF2|13或|PF2|10)与直线l：xy1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.B(，)C.D.(，)解析：由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1a20a21，且此时4a2(2a2)0a20)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案：B12已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与

13、y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|AB|6，则|F2B|_.解析：由椭圆定义知|F1A|F2A|F1B|F2B|2a10，所以|F1A|10|F2A|4，|F1B|AB|F1A|2，故|F2B|10|F1B|8.答案：814已知

14、点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|PM|的最小值是_解析：设抛物线焦点为F，则|PM|PF|，|PA|PM|PA|PF|.当且仅当A，P，F共线时|PA|PF|取最小值为|AF|5，|PA|PM|最小值为.答案：15设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|

15、MF2|1015.答案：1516已知动点P与双曲线x2y21的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为，则动点P的轨迹方程为_解析：x2y21，c.设|PF1|PF2|2a(常数a0)，2a2c2，a.由余弦定理有cosF1PF21，|PF1|PF2|2a2，当且仅当|PF1|PF2|时，|PF1|PF2|取得最大值a2.此时cosF1PF2取得最小值1.由题意1，解得a23，b2a2c2321.P点的轨迹方程为y21.答案：y21三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设F(1,0)，M点在x轴上，

16、P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程解：2，故P为MN中点又，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负方向上设N(x，y)，则M(x,0)，P，(x0)，.，0，即x0.y24x(x0)是轨迹C的方程18(本小题满分12分)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a1，焦半距为c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标

17、准方程为x21.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2,1)为AB的中点，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kAB6.故AB所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.19(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的

18、方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点20(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据a2b2c2及题设知M

19、，得2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及a2b2c2代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.21(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，

20、且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y2xt，由消去x，得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.22(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 ，得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.