2022年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.4-3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量讲义（含解析）湘教版选修2-1

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1、2022年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.4-3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量讲义（含解析）湘教版选修2-1读教材填要点1射影(1)过空间任意一点P作平面的垂线与相交于点P0，则P0称为点P在平面内的射影(2)预先给定平面，空间任何一个图形的每一个点P在平面上都有一个射影P0，所有这些P0在平面上组成一个图形，称为这个空间图形在平面上的射影2三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直3平

2、面的法向量与平面垂直的非零向量称为的法向量小问题大思维1平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的2若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，1,0)及向量(0,1，1)都与平面平行，则l与有怎样的位置关系？提示：(1,1,1)(0,1，1)0，(1,1,1)(1，1，0)0，而向量(1，1,0)与向量(0,1，1)不平行，l.利用判定定理用向量法证明线面垂直 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.自主解答设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，

3、则A(2，0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)(1，1,1)，(0,2，2)，(2,2,0)(1，1,1)(0,2,2)0，(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，EF平面B1AC.利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1，AB2AD，点E是线段C1D1的中点，求证：DE平面EBC.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AD1，则AA11，AB2，则可得D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(

4、0,2,0)，(0,1,1)，(1,1，1)， (0,1，1)，因为110，110，所以DEEB，DEEC，又EBECE，所以DE平面EBC.求平面的法向量 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF的法向量自主解答以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则G，E，F，.设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即令yz1，则x1，平面GEF的一个法向量为(1,1,1)本例条件不变，求平面A1EFC1的法向量解：A1(a,0，a)，E，F，.设平面A1EFC1的法向量为n(x，y，z)，则即令y2，z1，

5、则x2.平面A1EFC1的一个法向量为(2,2,1)求平面法向量的一般步骤为：(1)设出平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量2已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求出平面ABC的一个法向量解：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，

6、2，4)，(2，4，3)，由题设得：即解得取y1，则x2.故平面ABC的一个法向量为n(2,1,0)利用法向量证明线面垂直 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系自主解答设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M，N，(1,0,1)，(1,1,0)，.设平面A1BD的一个法向量为n0(x，y，z)，则即取x1，则yz1，n0(1，1，1)n02，即n0.MN平面A1BD.利用法向量证明线面垂直，即通过证明直

7、线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，M，假设存在P(0,0，x)满足条件，则(1,0，x)，(1,1,0)设平面PAC的法向量为n(x1，y1，z1)，则由得令x11得y11，z1，即n，由题意n，由得x2，正方体棱长为1，且21，棱DD1上不存在点P，使MD平面PAC.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图在正方体ABCDA1

8、B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点求证：平面ADE平面A1FG.巧思利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直妙解法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1.D(0,0,0)，E，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，G，F.， ，(1,0,0)00，0000.，即AEA1G，AEGF，又A1GGFG，AE平面A1GF.AE平面ADE，平面ADE平面A

9、1GF.法二：建立坐标系如法一设平面AED的法向量为n(x1，y1，z1)平面A1GF的法向量为m(x2，y2，z2)则n，n，取z12，则n(0，1,2)由m，m得取z21，则m(0,2,1)mn0220，mn.平面ADE平面A1GF.1给定下列命题：若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，且向量a与平面共面，则an0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：正确，中由n1n2.答案：C2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0,4)，则()A

10、lBlClDl与斜交解析：a(1,0,2)，n(2,0,4)，n2a，即an.l.答案：B3若平面，的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，且，则x的值为()A10B10C.D解析：，的法向量也垂直，即(1,2,4)(x，1，2)0.x280.x10.答案：B4设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_解析：由已知，a，b分别是平面，的法向量ab2640，ab，.答案：垂直5已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析

11、：2240，APAB，正确；440，APAD，正确；且是平面ABCD的法向量；正确，错误答案：6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)2420，2020.，.PCBF，PCEF.又

12、BFEFF，PC平面BEF.一、选择题1若平面，的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不正确解析：且uv0，相交但不垂直答案：C2若直线l的方向向量为(2,2,2)，向量m(1，1,0)及n(0,1，1)都与平面平行，则()AlBlClDl与相交但不垂直解析：因为m2200，n0220，所以m，且n，又m与n不平行，所以，即l.答案：A3设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆B直线C平面D线段解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面答案：C4已知平面内有一个点A(2，1,2)，它的一个法向量为n(

13、3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)B.C.D.解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0.同理，选项C、D也不符合要求，故选B.答案：B二、填空题5若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面的法向量为，且l，则m_.解析：l，直线l的方向向量平行于平面的法向量，m4.答案：46已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对解析：a

14、b(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10.a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直答案：07平面，的法向量分别为m(1,2，2)，n(2，4，k)，若，则k等于_解析：由知，mn0.282k0，解得k5.答案：58.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D，设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)

15、，.又a2a200，故由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a三、解答题9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点求证：AB1平面A1BD.证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2, )，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，.即AB1BD，AB1BA1.又BDBA1B，AB1平面A1BD.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，C

16、D的中点(1)证明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则2x10,2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2)同理可得平面A1FD1的法向量n2(0,2,1)因为n1n20，所以平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在AE上，所以可设(0,2,1)(0,2，)，可得M(2,2，)，于是(0,2，2)要使A1M平面DAE，需A1MAE，所以(0,2，2)(0,2,1)520，得.故当AMAE时，A1M平面DAE.