一元函数微分学的应用1PPT学习教案

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1、会计学1一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用1 一、一、 中值定理中值定理 二、二、 洛必达法则洛必达法则 第1页/共66页定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf满足下列条件：满足下列条件： （1 1） 在在 区间区间,ba上连续；上连续； （2 2） 在开区间在开区间),(ba内可导，那么，在内可导，那么，在),(ba内内至少有一点至少有一点 ，使得，使得 )()()(abfafbf . . 如果令如果令abxax,，则上式为，则上式为 xfxfxxf)( )()( , 其 中其 中介 于介 于x与与xx之 间 ， 如 果 将之 间 ， 如 果 将 表 是 成表 是 成) 10(xx

2、，上式也可写成，上式也可写成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何演示几何演示第2页/共66页xoy)(xfy AB第3页/共66页xoy)(xfy AB第4页/共66页xoy)(xfy AB第5页/共66页xoy)(xfy AB第6页/共66页xoy)(xfy AB第7页/共66页xoy)(xfy AB第8页/共66页xoy)(xfy AB返回返回第9页/共66页推论推论 1 1 如果函数如果函数)(xf在区间在区间),(ba内满足内满足0)( xf，则在，则在),(ba内内Cxf)(（C为常数） 为常数） 证证 设设21,xx是区间是区间)

3、,(ba内的任意两点，且内的任意两点，且21xx ，于是在区间，于是在区间,21xx上函数上函数)(xf满足拉格朗日满足拉格朗日中值定理的条件，故得中值定理的条件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第10页/共66页因为因为21,xx是是),(ba内的任意两点，于是上式表明内的任意两点，于是上式表明)(xf在在),(ba内任意两点的值总是相等的，即内任意两点的值总是相等的，即)(xf在在)

4、,(ba内是一个常数，证毕内是一个常数，证毕 推 论推 论 2 2 如 果 对如 果 对),(ba内 任 意内 任 意 x， 均 有， 均 有)()(xgxf，则在，则在),(ba 内内)(xf与与)(xg之间只差一个之间只差一个常数，即常数，即Cxgxf)()(（C为常数） 为常数） 证证 令令)()()(xgxfxF，则，则0)( xF，由推论，由推论 1 1知 ，知 ，)(xF 在在),(ba内 为 一 常 数内 为 一 常 数C， 即， 即),(,)()(baxCxgxf，证毕，证毕 第11页/共66页例例).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccos

5、arcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx0 第12页/共66页 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为称为 00型或型或 型不定式型不定式( (也称为也称为 00型或型或 型未定型型未定型) )的极限的极限, ,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法方法 (1)(1) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf与与)(

6、xg在在 0 x的某邻域内（点的某邻域内（点 0 x可除外）可除外）可导，且可导，且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛洛必必达达法法则则) ) 若若 第13页/共66页 (3) (3) Axgxfxx)()(lim0( ( A为有限数，也可为为有限数，也可为或或 ) )，则，则 证证 由于我们要讨论的是函数在点由于我们要讨论的是函数在点 0 x的极限，的极限，而极限与函数在点而极限与函数在点 0 x的值无关， 所以我们可补充的值无关， 所以我们可补充)(xf与与)(xg在在0 x的定义，而对问题的讨论不会发生任何影的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响令响令0)()(00 xgxf，则

7、，则)(xf与与)(xg在在点点 0 x就连就连续了在续了在 0 x附近任取一点附近任取一点 x，并应用柯西中值定理，并应用柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x与 0 x之间) . 第14页/共66页由于由于0 xx 时，时，0 x ，所以，对上式取极限便得要证，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕的结果，证毕 注注：上述定理对：上述定理对x时的时的 00未定型同样适用，对于未定型同样适用，对于0 xx 或或x时的未定型时的未定型 ，也有相应的法则，也有相应的法则 （洛

8、必达法则洛必达法则 2 2） 第15页/共66页例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim 解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 第16页/共66页例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1n

9、xnxnxnxnxxxx 第17页/共66页例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 这是这是未定型，通过“通分”将其化为未定型，通过“通分”将其化为 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 除未定型除未定型00与与之外， 还有之外， 还有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就的书籍，下面就未定型再举一例未定型再举一例 第18页/共66页 在使用洛必达法则时，应注意如下几点：在使用洛必达法则时，应注意如下

10、几点： (1) (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于每次使用法则前，必须检验是否属于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) (2) 如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子，如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) (3) 当当(x)g(x)flim不存在不存在( (不包括不包括 的情况的情况) )时，并不时，并不能断定能断定g(x)f(x)lim也不存在，此时应使用其他方法求极限也不存在，此时应使用其他方法求极限 xxxxln11lnlim121

11、111lim21xxxx . . 第19页/共66页 一一、 函数的单调性函数的单调性二、二、 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 第20页/共66页如图观察区间如图观察区间,ba上的单调递上的单调递增函数增函数)(xf的图像，当的图像，当 x增大时，增大时，曲线上任一点处的切线与曲线上任一点处的切线与 x轴正轴正向夹角为锐角，即向夹角为锐角，即0)( xf（个别点（个别点处处( )0fx） ，反过来是否也成立） ，反过来是否也成立呢？我们有如下定理：呢？我们有如下定理： 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如果在

12、）如果在),(ba内内0)( xf，则函数，则函数)(xf在在,ba上单调增加；上单调增加； xy0ab第21页/共66页证证 设设21,xx是是,ba上任意两点上任意两点, ,且且21xx ，由拉格由拉格朗日中值定理有朗日中值定理有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如果如果0)( xf，必有，必有0)(f，又，又012 xx， 于是有于是有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由于由于21,xx)(21xx 是是,ba上任意上任意两点，所以函数两点，所以函数)(xf在在,ba上单调增加上单调增加 同理可证，如果同理可证，如果0)( xf，则函数，则函数)

13、(xf在在,ba上上单调减少，证毕单调减少，证毕 （2 2）如果在）如果在),(ba内内0)( xf，则函数，则函数)(xf在在 ,ba上单调减少上单调减少 第22页/共66页函数单调区间的确定：函数单调区间的确定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的点 （称这样的点为驻点） ，的点 （称这样的点为驻点） ， （2 2）用这些驻点将）用这些驻点将)(xf的定义域分成若干个子的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性区间，再在每个子区间上判断函数的单调性. . 例例 讨论函数讨论函数323)(xxxf的单调性的单调性 解解 因为因为323)(xxxf, , 所以所以)2(

14、336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得驻点：得驻点：01x，22x, ,用它们将用它们将)(xf的的定义区间定义区间),(分成三个部分区间分成三个部分区间: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2(. . 第23页/共66页当当)0 ,(x时， 有时， 有0)( xf； 当； 当)2 , 0(x时时0)( xf; ;当当), 2( x时，时，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函数知， 函数)(xf在区间在区间)0 ,(与与), 2( 上单调减少，在区间上单调减少，在区间)2 , 0(单调增单调增加加 第24页/共66页定义定义 1 1 若在某区间若

15、在某区间()a,b内曲线段总位于其上任意内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在一点处切线的上方，则称曲线段在 ()a,b内是向上凹的内是向上凹的（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段切线的下方，则称该曲线段),(ba内是向下凹的（简称下内是向下凹的（简称下凹，也称凸的） 凹，也称凸的） 从图可以看出曲线段从图可以看出曲线段AB是下凹是下凹的；曲线段的；曲线段 BC是上凹的是上凹的 定理定理 1 1 设函数设函数 y= =)(xf在开在开区间区间()a,b内具有二阶导数内具有二阶导数

16、(1)(1)若在若在()a,b内内0)( xf, ,则曲则曲线线)(xfy 在在),(ba内是向上凹的；内是向上凹的； yOx ABCabc 第25页/共66页(2)(2)若在若在),(ba内内0)( xf, ,则曲线则曲线)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立 例例 1 1 判定曲线判定曲线xyln的凹向的凹向 解解 函数函数xyln的定义域为的定义域为), 0( , , xy1, , 21xy , ,当当0 x时，时，0 y， 故曲线， 故曲线xyln在在), 0( 内内是向下凹的

17、是向下凹的 第26页/共66页定义定义 2 2 若连续曲线若连续曲线 y= =)(xf上的点上的点 P是曲线向是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称上凹与向下凹的分界点，则称 P是曲线是曲线)(xfy 的拐的拐点点 由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧近旁近旁)(xf 必然异号因此，曲线拐点的横坐标必然异号因此，曲线拐点的横坐标 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的点或的点或)(xf 不存在的点从而可不存在的点从而可得求得求),(ba内连续函数内连续函数 y= =)(xf拐点的步骤：拐点的步骤： (1) (1) 先求出先求出)(xf ，

18、找出在，找出在),(ba内使内使0)( xf的点的点和和)(xf 不存在的点；不存在的点； (2) (2) 用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间, ,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号； 第27页/共66页(3) (3) 若若)(xf 在某点在某点 ix两侧近旁异号， 则两侧近旁异号， 则(,()iixf x是曲线是曲线y= =)(xf的拐点，否则不是的拐点，否则不是 例例 2 2 曲线曲线3xy 的定义域为的定义域为),(，画其草图，画其草图 解解 因为因为3xy 的定义域为的定义域为),(，且且23xy , ,

19、 xy6 , , 令令0 y，得，得0 x 用用0 x将将),(分成两个分成两个 小区间：小区间：)0 ,( 和和), 0( . . 当当)0 ,(x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 下凹下凹 当当), 0( x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 上凹上凹 所以，点所以，点)0 , 0(为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 yxO11-1-1第28页/共66页 一、一、函数的极值函数的极值 二、二、函数的最值函数的最值 第29页/共66页定义定义 设函数设函数)(xf在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ,且对且对此邻域内任一点此邻域内任一点)(0 xxx, ,均有均有)()(0

20、xfxf, ,则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个极大值的一个极大值; ;同样同样, ,如果对此邻域如果对此邻域内任一点内任一点)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,则称则称)(0 xf是函是函数数)(xf的一个极小值函数的极大值与极小值统称为的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点函数的极值使函数取得极值的点 0 x, ,称为极值点称为极值点 第30页/共66页定理定理 1 1 ( (极值的必要条件极值的必要条件) ) 设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, , 且在点且在点0 x取得极值取得极值 , ,那么那么0)(0 xf

21、 观察可导函数在取得极值处切线特征，观察可导函数在取得极值处切线特征， 可以看出可以看出, ,可导函数在取得极值处的可导函数在取得极值处的 切线是水平的切线是水平的, ,即极值点即极值点 0 x处处, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 证证 只证只证)(0 xf是极大值的情形由假设是极大值的情形由假设, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(lim)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO第31页/共66页因为因为)(0 xf是是)(xf的一个极大值的一个极大值, ,所以对于所以对于 0 x的某的某邻域内的一

22、切邻域内的一切 x, ,只要只要0 xx , ,恒有恒有)()(0 xfxf因此因此, ,当当0 xx 时时, , 有有0)()(00 xxxfxf于是于是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 当当0 xx 时时, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,从而得到从而得到0)(0 xf 类似可证类似可证)(0 xf为极小值情形为极小值情形, ,证毕证毕 第32页/共66页函数极值点特征：对于可导函数由定理函数极值点特征：对于可导函数由定理 1 1 知，可导函数知，可导函数)(xf的极值点必是的极值点必是)(xf的驻点反过来

23、的驻点反过来, ,驻点却不一定驻点却不一定 是是)(xf的极值点如的极值点如0 x是函数是函数3)(xxf的驻点，但的驻点，但不是其极值点对于连续函数不是其极值点对于连续函数, ,它的极值点还可能是它的极值点还可能是使导数不存在的点使导数不存在的点, ,称这种点为尖点 例如称这种点为尖点 例如, ,xxf)(，但但0 x处导数不存在处导数不存在, ,但是，但是，0 x是它的极小值点是它的极小值点 定理定理 （极值的第一充分条件）设（极值的第一充分条件）设)(xf在点在点 0 x连续，在点连续，在点 0 x的某一空心邻域内可导当的某一空心邻域内可导当 x由小由小增大经过增大经过 0 x时，如果时

24、，如果 (1)(1) )(xf 由正变负，那么由正变负，那么 0 x 是极大值点；是极大值点；(2)(2) )(xf 由负变正，那么由负变正，那么 0 x是极小值是极小值点；点；(3) (3) )(xf 不变号，那么不变号，那么 0 x不是极值点不是极值点 第33页/共66页证证 （）由假设知，（）由假设知，)(xf在在 0 x的左侧邻近单调的左侧邻近单调增加增加, , 即当即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf; ;在在0 x的右侧邻近的右侧邻近单调减少，即当单调减少，即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的极大值点极大值点, , )(0 xf是是

25、)(xf的极大值的极大值 类似可以证明（类似可以证明（2 2） ） (3)(3) 由假设，当由假设，当 x在在 0 x 的某个邻域的某个邻域)(0 xx 内取内取值时，值时，)0(0)( xf，所以，在这个邻域内是单调增加，所以，在这个邻域内是单调增加（减少）的，因此（减少）的，因此0 x不是极值点，证毕不是极值点，证毕 定理定理 （极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件） 设设)(xf在点在点 0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 第34页/共66页(1)(1) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0 x取得极大值；取得极大值； (2)

26、 (2) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0 x取得极小值取得极小值 证证 （）由于（）由于0)(0 xf, ,所以所以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某邻域内必有的某邻域内必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因为因为0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 第35页/共66页从而知道， 当从而知道， 当0 xx 时，时，0)( xf； 当； 当0 xx 时，时，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf为为)(xf的极大值类似地可证明的极大值类似地可证明（）

27、 ，证毕（） ，证毕. . 例例 求函数求函数xxxxf96)(23的极值的极值. . 解解 一一 因 为因 为96)(23xxxf的 定 义 域 为的 定 义 域 为( (,),),且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得驻点，得驻点11x, ,32x . . 在在) 1 ,(内，内，0)( xf，在，在)3 , 1 (内，内，0)( xf, ,故由定理故由定理2 2 知，知，4) 1 (f为函数为函数)(xf的极大值的极大值 第36页/共66页解二解二 因为因为xxxxf96)(23的定义域为的定义域为),(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)(

28、 xxf 令令0)( xf, ,得驻点得驻点11x, ,32x又因为又因为06) 1 ( f, ,所以，所以，4) 1 (f为极大值为极大值 06)3( f, ,所以所以0)3(f为极小值为极小值 例例 2 2 求函数求函数32) 1(2)(xxf的极值的极值 解解 因 为因 为32) 1(2)(xxf的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(, ,且且)(xf在在),(上连续，所以上连续，所以 第37页/共66页131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x时时, ,)(xf 不存不存在在 , , 所 以所 以1x为为)(xf的 可 能 极 值 点 在的 可 能 极 值 点

29、在) 1 ,(内内, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 内内, ,0)( xf, ,由定理知由定理知)(xf在在1x处取得极大值处取得极大值2) 1 (f 第38页/共66页对于闭区间对于闭区间,ba上的连续函数上的连续函数)(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区间间,ba上的最大值和最小值只能在区间上的最大值和最小值只能在区间),(ba内的极内的极值点和区间端点处达到因此可得求闭区间值点和区间端点处达到因此可得求闭区间,ba上的上的连续函数连续函数)(xf的最值步骤为： （的最值步骤为： （1 1）求出一切可

30、能的极）求出一切可能的极值点值点( (包括驻点和尖点包括驻点和尖点) )和端点处的函和端点处的函数值， （数值， （2 2）比较）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值的值为函数的最小值 第39页/共66页例例 3 3 求函数求函数xxxxf1232)(23在在4 , 3上的最上的最大值和最小值大值和最小值 解解 因为因为 在在xxxxf1232)(23在在4 , 3上连续，上连续，所以在该区间上存在着最大值和最小值所以在该区间上存在着最大值和最小值 又因为又因为) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0

31、)( xf, ,得驻点得驻点21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f, ,最小值最小值为为7) 1 (f 对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 第40页/共66页理论上可以证明： 若实际问题断定理论上可以证明： 若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端点

32、处）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x, ,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值） 取得相应的最大值（最小值） 例例 4 4 有一块宽为有一块宽为a2的长方形铁皮，将宽的两的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为形，高为x, ,问高问高 x取何值时水槽的流量最大取何值时水槽的流量最大( (下图所下图所示为水槽的横截面）？示为水槽的横截面）？ 解解 设两边各折起设两边各折起 x, ,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xax

33、xS )0(ax x2a-2xx第41页/共66页这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁路线上铁路线上AB的距离为的距离为 100 km,100

34、 km,工厂工厂C距距A处处为为 2020 km, km,AC垂直于垂直于AB, ,要在要在AB线上选定一点线上选定一点 D向工向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每厂修筑一条公路，已知铁路与公路每 kmkm 货运费之比为货运费之比为3 3：5,5,问问D选在何处，才能使从选在何处，才能使从B到到 C的运费最少的运费最少? ? 第42页/共66页解解 设设 xAD (km),(km),则则 xDB100, ,2220 xCD 由于铁路每由于铁路每 kmkm 货物运费货物运费与公路每与公路每 kmkm 货物运费之比为货物运费之比为3 3：5 5，因此，不妨设铁路上每，因此，不妨设铁路上每km km

35、 运费为运费为k3, ,则公路上每则公路上每 kmkm运费为运费为k5, ,并设从并设从 B 到到 C 点需点需要的总运费为要的总运费为 y, ,则则 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 第43页/共66页又因为又因为 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x为函数为函数 y在在其定义域内的惟一驻点，故知其定义域内的惟一驻点，故知 y在在15x处取得最小处取得最小

36、值，即值，即D点应选在距点应选在距 A为为 15 kmkm 处，运费处，运费最少最少 第44页/共66页 一、一、成本函数与收入函数成本函数与收入函数 二、二、边际分析边际分析 三、三、弹性与弹性分析弹性与弹性分析第45页/共66页一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收 入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数 应用于成本函数和收入函数应用于成本函数和收入函数 成本函数成本函数( )C q给出了生产给出了生产数量为数量为 q的某种产品的总的某种产品的总成本成本 )(qC是单增函数是单增函数.

37、.对一些产对一些产品来说，如汽车或电视机等，产品来说，如汽车或电视机等，产量量q只能是整数，所以只能是整数，所以)(qCC 的图像由彼此孤立的点组成 （右的图像由彼此孤立的点组成 （右图一） ；对糖、煤等产品来说，图一） ；对糖、煤等产品来说，产量产量q可以连续变化，所以可以连续变化，所以)(qCC 的图像可能是一条连的图像可能是一条连续曲线（右图二） 续曲线（右图二） O C q 图二 O C q 图一 第46页/共66页总假定成本函数总假定成本函数)(qCC 对一切非负实数有意义对一切非负实数有意义 由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即企由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即

38、企业的产量业的产量0q时，成本时，成本0)0(CC一般不为零，通常成为固一般不为零，通常成为固定成本，几何上，固定成本定成本，几何上，固定成本 C0 0就是成本函数曲线在就是成本函数曲线在 C 轴上轴上的截距的截距 一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后逐渐慢下来（即成本函数后逐渐慢下来（即成本函数)(qCC 的曲线的斜率由大到的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高较小时的效率高这称为经济规模 当产品保持较高水这称为经济规模 当产品保持较高水

39、平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因此，曲线此，曲线)(qCC 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页页图图二二） ） 第47页/共66页 收入函数收入函数)(qR表示企业售出数量为表示企业售出数量为 q的某种产品所的某种产品所 获得的总收入由于售出量获得的总收入由于售出量 q 越多，收入越多，收入)(qR越大，所越大，所 以以)(qR是单增函数是单增函数. . 如果价格如果价格p是常数是常数

40、, ,那么那么 qpR ,数量价格收入 且且R的图像是通过原点的图像是通过原点的直线（图一） ，实际上，当的直线（图一） ，实际上，当产量产量q的值增大时， 产品可能的值增大时， 产品可能充斥市场，从而造成价格下充斥市场，从而造成价格下落，落，R的图像如图二的图像如图二 作出决策常考虑到利润作出决策常考虑到利润 L, , 成本收入利润, ,即即CRL. . O R q 图一 O R q 图二 第48页/共66页例例 1 1 如果成本函数如果成本函数)(qC及收入函数及收入函数)(qR由下图给由下图给 出，问出，问q的值多大时，企业可获得利润的值多大时，企业可获得利润 ？ 解解 只有当收入大于只

41、有当收入大于成本时，即成本时，即 R C 时，企业时，企业才可以获得利润 由右图可才可以获得利润 由右图可知， 当知， 当200100 q时，时，R的的图像位于图像位于C的图象之上，因的图象之上，因此产量介于此产量介于100和和200之间，之间，可获得利润可获得利润 C O R q C R 100 200 第49页/共66页边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化的变化率利用导数研究经济变量的边际变化方法，即的变化率利用导数研究经济变量的边际变化方法，即边际分析法边际分析法, ,是经济理论中的一个重要方法是经济理论中的一个重要方法 1 边边际际成

42、成本本 在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时总成本的一个增量，即总成本对产量的变化率于是，总成本的一个增量，即总成本对产量的变化率于是，若若)(qC可导，则当产量可导，则当产量0qq 时，边际成本时，边际成本)(0qCMC或或者者 0000()()dlim.dq qqC qqC qCMCqq . . 产量为产量为0q时，边际成本时，边际成本)(0qCMC，即边际成本是，即边际成本是总成本函数关于产量的导数， 其经济意义是：总成本函数关于产量的导数， 其经济意义是：)(0qC近似近似等于产量为等于产量为q再增加一个单位产品所需增加的成本， 这是

43、再增加一个单位产品所需增加的成本， 这是因为因为 )()() 1(qCqCqC)(qC. . 第50页/共66页2 2边边际际收收入入 在经济学中， 边际收入定义为多销售一个单位产品时在经济学中， 边际收入定义为多销售一个单位产品时总收入的增量，即边际收入为总收入关于产品销售量总收入的增量，即边际收入为总收入关于产品销售量q的的变化率变化率 设某产品的销售量为设某产品的销售量为q时，总收入时，总收入)(qRR , ,于是，于是，当当)(qR可导时，边际收入可导时，边际收入 qqRqqRqRMRq)()(lim)(0 . . 其经济意义为：其经济意义为：)(qR近似等于当销售量为近似等于当销售量

44、为 q时时, ,再再 多销售一个单位产品所增加的收入这是因为多销售一个单位产品所增加的收入这是因为 )()()() 1(qRqRqRqR. . 第51页/共66页 3 3边际利润边际利润 设某产品销售量为设某产品销售量为 q时的总利润为时的总利润为)(qLL ，称，称)(qL为总利润函数当为总利润函数当)(qL可导时，称可导时，称)(qL为销售量为销售量为为q时的边际利润，它近似等于销售量为时的边际利润，它近似等于销售量为 q时再多销时再多销售一个单位产品所增加的利润售一个单位产品所增加的利润 由于总利润为总收入与总成本之差，即有由于总利润为总收入与总成本之差，即有 )()()(qCqRqL.

45、 . 上式两边求导，得上式两边求导，得 )()()(qCqRqL. . 即边际利润等于边际收入与边际成本之差即边际利润等于边际收入与边际成本之差 第52页/共66页例例 2 2 如果总收入函数如果总收入函数)(qRR 及总成本函数及总成本函数 )(qCC , ,分别如图分别如图一及图一及图二所示，二所示， 画出边际收入画出边际收入)(qRMR及边际成本及边际成本 )(qCMC的图像的图像. . 解解 因为收入函数因为收入函数)(qRR 的图像是过原点的直线，故其方的图像是过原点的直线，故其方程程pqR , ,其中其中p为常量，所以边为常量，所以边际收入际收入pqRMR)( , ,因此，边因此，

46、边际收入的图像是一条与际收入的图像是一条与 q轴平行轴平行的直线（下的直线（下页页图一）图一）. . O R q R=R(q) 图一 O C q 200 C=C(q) 图二 第53页/共66页由于总成本是递增的（为单增函数） ，所以，边际由于总成本是递增的（为单增函数） ，所以，边际成本总是正的成本总是正的)0)( qC 在总成本在总成本)(qCC 的图象的图象中，当中，当200q时，曲线是下凹的时，曲线是下凹的)0( C, ,故边际成本故边际成本MC 是单减的是单减的)0)( MCC, ,所以，所以，MC 是单减的是单减的) )；当当200q时，总成本是上凹的，于是边际成本是递增时，总成本是

47、上凹的，于是边际成本是递增的因此边际成本在的因此边际成本在200q处具有极小值图二处具有极小值图二. . O q MR= R p MR 图一 O MC q MC= C 200 图二 第54页/共66页4 4最最大大利利润润 已知总收入函数已知总收入函数)(qRR 及总成本函数及总成本函数)(qCC , ,如如何求出最大利润，这对任何产品的制造者来说，显然都何求出最大利润，这对任何产品的制造者来说，显然都是最基本的问题，然而，这一问题的解决并不困难，只是最基本的问题，然而，这一问题的解决并不困难，只需对利润函数需对利润函数CRL在给定区间上求最值即可当然，在给定区间上求最值即可当然，最大（或最小

48、）利润有可能在区间端点处取得，但是，最大（或最小）利润有可能在区间端点处取得，但是，若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，且利润函数且利润函数 L L 在区间内部只有在区间内部只有惟惟一的驻点，则可断言，一的驻点，则可断言，最大（或最小）利润在该点取得最大（或最小）利润在该点取得 第55页/共66页例例 3 3 设某厂每月生产的产品固定成本为设某厂每月生产的产品固定成本为 10001000元，生产元，生产 x 个单位产品的可变成本为个单位产品的可变成本为 0 00101x2 2+10+10 x 元，元，如果每单位产品的销售为如果每单

49、位产品的销售为 3030 元，试求：总成本函数，元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润函数，边际成本总收入函数，总利润函数，边际成本, ,边际收入及边边际收入及边际利润为零时的产量际利润为零时的产量 解解 总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，总成本函数总成本函数 10001001. 0)(2xxxC, , 总收入函数总收入函数 xpxxR30)(, , 总利润函数总利润函数 10001001. 030)()()(2xxxxCxRxL 10002001. 02xx, , 第56页/共66页边际成本边际成本 1002. 0)(xxC, , 边际收入边际

50、收入 30)( xR, , 边际利润边际利润 2002. 0)(xxL, , 令令0)( xL, ,得得02002. 0 x, ,x=1000=1000 即每月产量为即每月产量为10001000 个单位时， 边际利润为零 这说明， 当月产量为个单位时， 边际利润为零 这说明， 当月产量为 10001000个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润. . 第57页/共66页 弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，或者说，一

51、个经济变量变动变化的反应程度，或者说，一个经济变量变动的百分之一会使另一个经济变量变动百分之的百分之一会使另一个经济变量变动百分之几几 第58页/共66页00000000() ( )()()limlimxxy f xf xxf xf xx xx x定义定义 设函数设函数( )f x在点在点 0 x的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且0()0f x，如果极限，如果极限 存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数)(xfy 在点在点 0 x处的点弹性，处的点弹性，记为记为0 xxExEy；而称比值；而称比值 000000)()()()(xxxfxfxxfxxxfy为函数为函数)(xfy

52、在点在点 0 x与点与点 xx0之间的弧弹性之间的弧弹性 第59页/共66页由定义可知，由定义可知， 00dd)(00 xxxxxyxfxExEy. . 且当且当|x很小时，有很小时，有 0 xxExEy00)(xxxfy弧弹性弧弹性. . 如果函数如果函数)(xfy 在区间在区间),(ba内可导，且内可导，且0)(xf，则称则称)()(xfxfxExEy为函数为函数)(xfy 在区间在区间),(ba内的点内的点弹性函数，简称为弹性函数弹性函数，简称为弹性函数 第60页/共66页需求弹性需求弹性: :若若表示某商品的市场需求量表示某商品的市场需求量, ,价格为价格为p p, ,若需求函数可导若

53、需求函数可导, ,则称则称 pppEpEdd)( 为商品的需求价格弹性为商品的需求价格弹性, ,简称为需求弹性简称为需求弹性, ,常记为常记为 p 需求弹性需求弹性p表示某商品需求量表示某商品需求量对价格对价格 p 的变动的的变动的反应程度由于需求函数为价格的减函数，故需求弹性反应程度由于需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值为负值, ,从而当从而当0 p时，需求弹性的极限一般也为负时，需求弹性的极限一般也为负值，即需求价格弹性值，即需求价格弹性p一般也为负值一般也为负值称商品的需求价称商品的需求价格弹性大时格弹性大时, ,是指其绝对值大是指其绝对值大 第61页/共66页当当1p( (即即|

54、 |p|=1)|=1)时时, ,称为单位弹性称为单位弹性, ,此时商品需此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等求量变动的百分比与价格变动的百分比相等 当当1p( (即即| |p|1)|1)时时, ,称为高弹性，此时商品需求称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比， 价格变动对需求量变动的百分比高于价格变动的百分比， 价格变动对需求量的影响较大量的影响较大 当当01p( (即即| |p|1)|1(|1(高弹性高弹性) )时时, ,降价降价( (0d p) )可使总可使总收益增加收益增加( (0R),),薄利多销多收益薄利多销多收益; ;提价提价( (0d p) )将使

55、总将使总收益减少收益减少( (0R) )当当| |p|1(|1(低弹性低弹性) )时降价使总收益减时降价使总收益减少少( (0R),),提价使总收益增加当提价使总收益增加当| | p|=1(|=1(单位弹性单位弹性) )时时, ,总收益近似为总收益近似为 0(0(0R),),即提价或降价对总收益没有明即提价或降价对总收益没有明显的影响显的影响 第63页/共66页例例 6 6 设 某 商 品 的 需求 量 为设 某 商 品 的 需求 量 为p50600Q, , 求求1,6,8p 时需求价格弹性时需求价格弹性, ,并给以适当的经济解释并给以适当的经济解释 解解 因为因为p50600Q, , 所以所

56、以 50ddpQ, , 所以所以 ppppp5060050ddQQ. . 当当1p时时, ,1111|p, ,为低弹性，此时降价将使总为低弹性，此时降价将使总收益减小，提价使总收益增加收益减小，提价使总收益增加 当当6p时时, , 1|p, ,为单位弹性，此时降价或提价为单位弹性，此时降价或提价对总收益没有明显影响对总收益没有明显影响 当当8p时时, , 2|p, ,为高弹性，此时降价将使总收为高弹性，此时降价将使总收益增加，提价使总收益减少益增加，提价使总收益减少 第64页/共66页思考题思考题 1 1回答下列问题：回答下列问题： (1) (1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？为什么说需求

57、价格弹性一般为负值？ (2) (2) 设生产设生产x个单位产品时，总成本为个单位产品时，总成本为)(xC，问，问这时每单位产品的平均成本是多少？这时每单位产品的平均成本是多少？ (3) (3) 用数学语言解释“某项经济指标的增长速度用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢” ，在逐步变慢” ， 并画图说明并画图说明 2. 2. 一般情况下，对商品的需求量一般情况下，对商品的需求量 Q是消费者之收是消费者之收入入x的函数的函数, ,即即 ( ) xQQ , ,试写出需求试写出需求 Q对收入对收入 x的弹性的弹性需求收入弹性数学公式，并分析其需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义经济意义 第65页/共66页