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1、高二数学第二册上册第六章第2节算术平均数与几何平均数（文） 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 6.2 算术平均数与几何平均数 目标：初步理解算术平均数和几何平均数的概念，初步掌握重要不等式“如果a、bR，并能运用它们进行简单的证明和求值。二. 重点、难点： 重点：重要不等式及定理。 难点：重要不等式及定理的应用。知识要点介绍 故有下面两个重要结论： 定理 该定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 中项，那么该定理还可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 下面我们结合图形来看看该定理的意义： 以ab长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，CBb。
2、 过点C作垂直于直径AB的弦DD，连结AD、DB，易证RtDACDRtDDCB，那么CD2CACB 其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号“”成立。 故该定理的几何意义是“半径不小于半弦” 学习时，要注意以下几点： 前者只要求a、b都是实数，而后者则要求a、b都是正数。 （2）这两个不等式都是带有等号的不等式，因此对定理中“当且仅当ab时取号”这句话的理由要搞清楚。 （3）应用这两个不等式可以证明其他不等式。当然它们本身也是根据不等式的意义、性质证出的，因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质来证明。 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小
3、值时，要注意： （1）函数式中，各项必须都是正数。 （2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值。【例题分析】 例1. 分析： 证明： 说明：对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”。 例2. 小。 分析： 解： 说明：解答本题前应弄清各种符号的意义及运算关系、运算性质。 例3. 错误解法： 错误原因：两次用不等式a2b22ab，等号要同时取到，若ad且bc，则abcd，与已知ab7，cd5矛盾，故不可能同时有ad且bc。 正确解法： 说明： （2）使用不等式求最值要注意其条件，特
4、别是“能否相等”，尽量减少“等号”成立的次数。 例4. 错解： 错误原因：立，也就是说使等号成立的t不存在，故上面解法是错误的。 正确解法： 说明：(1)使用不等式求函数的最值，一定要确定“”能否取得。 例5. 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。 解： 故所求函数及其定义域为： （2）
5、依题意知a、b、S、v均为正数 时，行驶速度应为vc。 说明：抓住基本关系：全程成本每小时成本时间，成本可变成本固定成本，列出函数关系式。求最值时要注意变量的定义域。【模拟试题】一. 选择题： 1. 已知，则的最小值是（ ） A. 4B. 8C. 12D. 16 2. 设x、y都是正实数，则下列不等式中等号不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，下列各式中最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，且，则的最小值是（ ） A. 10B. C. D. 5. 已知函数，a、b为正实数，设，则M、N、P的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，那么xy（ ）
6、 A. 无最大值也无最小值 B. 无最大值而有最小值 C. 有最大值而无最小值 D. 有最大值也有最小值二. 填空题： 7. 设，则 8. 9. 已知x、y满足，则的最小值是_ 10. 在中，A、B、C分别是边a、b、c的所对的角，若a、b、c成等差数列，则的范围是_。 11. 建造一个容积为，深为2m的长方体蓄水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总价为_元。三. 解答题（本大题共3小题，共17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12. （本小题满分5分） 已知：a、b、c为实数，求证： 13. （本小题满分6分） 已知：实数a、b、c满足，求证： 14. （本小题满分6分） 某种生产设备购买时的费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？【试题答案】一. 1. B2. A3. C4. D5. D6. C二. 7. 8. 1 29. 10. 11. 1760三. 12. 证明：a、b、c为实数 以上三式相加得： 13. 证明： 14. 解：设使用x年（）的年平均费用为y万元 由已知：x年的设备管理费为0.9x万元，维修费为： 年的总费用为： 答：使用10年报费最合算
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