2022年高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课后习题 新人教A版选修2-1

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1、2022年高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课后习题 新人教A版选修2-1课时演练促提升A组1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=()A.0B.-C.-1D.1解析:=|cosD1AC=cos 60=1.答案:D2.若a,b均为非零向量,则“a与b共线”是“ab=|a|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a与b共线时,a与b可能同向,也可能反向,因此不一定有ab=|a|b|;但当ab=|a|b|时,a与b一定同向,即a与b共线.答案:B3.已知a,b均为空间中的单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于()A.

2、B.C.D.4解析:|a+3b|2=|a|2+6ab+9|b|2=1+611cos 60+9=13,故|a+3b|=.答案:C4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,体对角线AC1和BD1相交于点O,则有()A.=2a2B.a2C.a2D.=a2解析:,=aacos 45=a2,故A不正确.=|cos=|=a2,故B不正确.a2,故C正确.=-a2,故D不正确.答案:C5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面的中心,则AC1与CE的位置关系是()A.重合B.垂直C.平行D.无法确定解析:),于是=()=0-0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直.答案:B

3、6.在空间四边形OABC中,OB=OC,AOB=AOC=,则cos等于()A.B.C.-D.0解析:cos=0.答案:D7.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则(a+b)(a-2b)=.解析:(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ba-2b2=|a|2-ab-2|b|2=12-11cos 60-212=-.答案:-8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为.解析:因为,所以|2=()2=|2+|2+|2+2()=1+4+9+2=23,故AC1的长为.答案:9.已知在空间四边形OABC中,AO

4、B=BOC=AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OGBC.证明:如图,连接ON,设AOB=BOC=AOC=,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.)=(a+b+c),=c-b,(a+b+c)(c-b)=(ac-ab+bc-b2+c2-bc)=(|a|2cos -|a|2cos -|a|2+|a|2)=0,OGBC.10.如图,BB1平面ABC,且ABC是B=90的等腰直角三角形,ABB1A1,BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.解:因为=()()=0-a2+0+0=-a2,且|=a,|=a,所以

5、cos=-.所以的夹角是120,故直线BA1与AC所成的角为60.B组1.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.以上都不对解析:a+b+c=0,a+b=-c.(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=|c|2.ab=.cos=.答案:D2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:=()()=0,同理,可证0,0.所以BCD的每个内角均为锐角,故BCD是锐角三角形.答案:B3.在三棱锥O-ABC中,OAOB,OAOC,

6、BOC=60,OA=OB=OC=2,若E为OA中点,F为BC的中点,则EF=.解析:)-,|2=)2=+2-2-2).又由已知得|=|=|=2,=22=2,|2=(4+4+4+4)=4.|=2,即EF=2.答案:24.如图,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为.解析:因四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为BCD的垂心,所以BCDA,ABCD.设正四面体的棱长为4,则=()()=0+0=41cos 120+14cos 120=-4,BF=DE=,所以异面直线DE与BF的夹角的余弦值为cos =.答案:5.如图,直三棱柱ABC-A1B1

7、C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,N为A1A的中点,(1)求的长;(2)求cos的值.解:(1)AA1=2,N为其中点,AN=1.由已知得NAAC,NABC,又,|2=+2+2+2=3.|=.(2),=()()=|cos 135+0+0+=1+22=3.又|=,|=,cos=.6.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD.(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.证明:(1)设=a,=b,=c,则=)=)=(b+c),故(b+c)(-a)=-(ab+ac).四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,ab,ac.ab=ac=0.=0.,故MNCD.(2)由(1)知,MNCD,(b+c),=b-c,(b+c)(b-c)=(|b|2-|c|2).PA平面ABCD,PAAD.又PDA=45,PA=AD,|b|=|c|.=0,MNPD.CD,PD平面PCD,且CDPD=D,MN平面PCD.