2022高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义（1）学案 苏教版选修1 -2

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1、2022高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义（1）学案 苏教版选修1 -2学习目标1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法知识链接1下列命题中不正确的有_(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数能进行开偶次方根运算；答案(5)2实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴由复数的定义可知任何一个复数zabi(a，bR)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来

2、表示复数的几何模型呢？答由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型预习导引1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数与点、向量间的对应复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)；复数zabi(a，bR)平面向量O(a，b)2复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|.3两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离要点一复数与复平面内的点例1在复平面内

3、，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意，得，2m4.(3)由题意，得(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1，或m，所以当m1，或m时，复数z对应的点在直线xy40上要点二复数的模及其应用例2已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解方法一

4、z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a，|z1|z2|.要点三复数的模的几何意义例3(1)当复数z1sinicos，z223i时，试比较|z1|与|z2|的大小；(2)求满足条件2|z|3的复数z在复平面上表示的图形解(1)|z1|sinicos|，|z2|23i|，且，|z1|z2|.(2)如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周

5、规律方法(1)利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法(2)根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状跟踪演练3已知aR，则复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？解a22a4(a1)233，(a22a2)(a1)211，z的实部为正数，虚部为负数，复数z所对应的点在第四象限设zxyi(x，yR)，则消去a22a，得yx2(x3)，复数z对应点的轨迹是一条射线.1在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解之得m9.2已知复数(

6、2k23k2)(k2k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是_答案(，0)(1,2)解析复数对应的点在第二象限，即k的取值范围为(，0)(1,2)3若复数z11，z22i分别对应复平面内的点P，Q，则向量P对应的复数是_答案3i解析P(1,0)，Q(2,1)，P(3,1)，P对应的复数为3i.4若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离|z1|min1.1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研

7、究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑一、基础达标1复数zi3对应的点在复平面第_象限答案四解析zi3i，z对应点Z(，1)在第四象限2当0m1时，z(m1)(m1)i对应的点位于第_象限.答案四解析0m0，1m10，故对应的点在第四象限3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_答案24i解析A(6,5)，B(2,3)，C为AB的中点，C(2,4)，点C对应的复数为24i.4已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是_答案以原点为圆心，以3为半径的圆解析由题意可知(|z|

8、3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|3.复数z对应的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆5已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于_答案1i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7(1)已知向量O与实轴正向的夹角为45，向量O对应的复数z的模为1，求z；(2)若z|z|2，求复数z.解(1)设zabi(a，bR)O与x轴正向的夹角为45，|z|1，或或zi或zi

9、.(2)z|z|2，z2|z|R，当z0时，|z|z，z1，当z0时，无解，z1.二、能力提升8在复平面内，复数(2i)2对应的点位于第_象限答案四解析复数(2i)244ii234i，复数对应的点为(3，4)，所以在复平面内，复数(2i)2对应的点位于第四象限9设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z_.答案1i解析设zabi(a，bR)，由zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)即(a2b2)i22a2biz1i.10已知复数z1a2i，z22i，若|z1|z2|，则实数a的取值范围是_答案1a1解析依题意有，解得1a1.11当实数m为何值时，复数z(m28m15)(

10、m23m28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解(1)要使点位于第四象限，须，7m3.(2)要使点位于x轴负半轴上，须，m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m23m280，解得m4或m7.12已知复数z对应的向量为O(O为坐标原点)，O与实轴正向的夹角为120且复数z的模为2，求复数z.解根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，|O|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)或(1，)，z1i或z1i.三、探究与拓展13试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数解设xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b2562abi0或或即x2或x3或xi.故方程在复数集上的解共有6个