2022-2023高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示学案苏教版必修4

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1、2022-2023高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示学案苏教版必修4 学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小

2、梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量称为向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示思考20的模是多少？0有方向吗？答案0的模为0，方向任意思考3单位向量的模是多少？答案单位向量的模为1个单位长度梳理(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以A为起点、B为终点的有向线段记作.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a，b，c，表示(印刷用粗体a，b，c，书写时用，)(3)向量的大小，也就是向量的长度(或

3、称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为0的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量知识点三向量间的关系思考1已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？答案因为向量和向量方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合思考3若ab，bc，那么一定有ac吗？答案不一定因为当b0时，a，c可以是任意向量梳理(1)相等

4、向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆1向量就是有向线段()提示向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段2若a，b都是单位向量，则ab.()提示a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同3若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同()提示若ab，则a与b的大小和方向都

5、相同，那么起点相同时，终点必相同类型一向量的概念例1下列说法中，正确的是向量与向量的长度相等；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同；零向量没有方向；两个相等向量的起点相同，则终点也相同答案解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故都错误，正确反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题跟踪训练1下列说法正确的有(填序号)若|a|b|，则ab或ab；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；向量与是平行向量答案解析错误|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方

6、向的关系错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上正确向量和是长度相等，方向相反的两个向量类型二共线向量与相等向量例2如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，EFBC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模相等的向量有，.(3)与相等的向量有与.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线

7、跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心(1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个(2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，共4个(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个类型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200km到达C点，最后又改变方向

8、，向东行驶了100km到达D点(1)作出向量，；(2)求|.解(1)向量，如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，|，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c

9、的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)1下列结论正确的个数是温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.答案1解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对2有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若ab，则a一定不与b共线；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行其中，正确说法的个数是答案1解析对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于

10、，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误3把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积为答案3解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为22123.4.如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与，相等的向量；(2)写出与模相等的向量解(1)，.(2)，.1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起

11、到数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆一、填空题1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程其中是向量的有个答案4解析是向量2下列说法中正确的个数是一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；单位向量的模都相等答案23已知|1，|2，若ABC90，则|.答案解析由勾股定理可知，BC，所以|.4.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE

12、均为平行四边形，则图中所示向量与向量相等的向量为；图中所示向量与向量共线的向量为；图中所示向量与向量的模相等的向量为(填图中所画出的向量)答案，解析O是正三角形ABC的中心，OAOBOC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，.5若a0是与a同向的单位向量，则向量与单位向量a0的长度的大小关系是答案相等解析依题意，a是非零向量，表示与a同向的单位向量6如图所示，已知AD3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模为2的向量有答案，解析模为2的向量有，.7以下命题：|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；两个具有

13、公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量其中，正确命题的个数是答案2解析错误8在四边形ABCD中，若且|，则四边形的形状为答案菱形解析，ABDC，ABDC，四边形ABCD是平行四边形，又|，四边形ABCD是菱形9给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能使ab成立的是(填序号)答案解析相等向量一定是共线向量，故能使ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故能使ab；零向量与任一向量平行，故成立10.如图，若四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与共线的向量有

14、；(2)图中与相等的向量有；(3)图中与的模相等的向量有；(4)图中与相等的向量有答案(1)，(2)，(3)，(4)二、解答题11一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量解(1)向量，如图所示(2)由题意知，ADBC，ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，长度为6千米”12如图，已知.求证：(1)ABCABC；(2)，.证明(1)，|，且.又点A不在上，AABB，四边形AABB是平

15、行四边形，|.同理|，|.ABCABC.(2)四边形AABB是平行四边形，且|，.同理可证.13如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|.(1)画出所有的向量；(2)求|的最大值与最小值解(1)画出所有的向量，如图所示(2)由(1)所画的图知，当点C位于点C1或C2时，|取得最小值；当点C位于点C5或C6时，|取得最大值.所以|的最大值为，最小值为.三、探究与拓展14设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是(填序号)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.答案15.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量解(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.