《（浙江专版）2020版高考数学一轮复习 第二章 不等式 第四节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题学案（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）2020版高考数学一轮复习 第二章 不等式 第四节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题学案（含解析）（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第四节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最
2、小值问题小题体验1下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0,0)B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案：C2(教材习题改编)不等式组表示的平面区域是()答案：B3(2018浙江名校联考)若x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为_，zyx的最大值是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M(5,10)，N(5，2)，所以SOMN(102)530.由zyx，得yxz，作出直线yx，平移直线yx，易知当直线zyx经过可行域内的点M(5,10)时，目标函数zyx取得最大值，且zmax1055.答案：3051画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式
3、化为axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有3在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值小题纠偏1若用阴影表示不等式组所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为_答案：152(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2
4、,0)时，z取得最大值，zmax32206.答案：6题组练透1(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3B2C1 D0解析：选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点2(2019嘉兴高三基础测试)若不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C如图所示，当直线xya在直线xy(该直线经过直线xy0和直线3xy3的交点)的下方
5、时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a，故选C.3(2018浙江名校联考)若实数x，y满足则点P(xy，xy)形成的区域的面积为_，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为_解析：令得则原不等式组可化为所以点P形成的区域如图中阴影部分所示，易知A(2,0)，B，C(3，1)设点B到AC的距离为d，则SABC|AC|d.所求半径最小的圆即ABC的外接圆，AC，AB的垂直平分线分别为直线yx3，y3x，求得交点坐标，即圆心坐标为，所以半径为.答案：谨记通法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组
6、，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点锁定考向线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题 题点全练角度一：求线性目标函数的最值1(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示由图可知当直线xyz过点A时z取得最大值由
7、得点A(5,4)，zmax549.答案：9角度二：求非线性目标函数的最值2(2018温州模拟)若实数x，y满足约束条件则约束条件内的y的最大值为_，目标函数的取值范围为_解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可知A，所以y的最大值为.易知的几何意义是可行域内的点与点(2，1)所在直线的斜率，(2,0)与(2，1)两点连线的斜率为，所以的最小值为，由图可知的最大值为直线xy10的斜率1，所以的取值范围为.答案：角度三：线性规划中的参数问题3(2018绍兴考前冲刺)已知实数x，y满足约束条件若目标函数zxay仅在点(3,0)处取得最大值，则实数a的取值范围为()A0,2)B(0,2
8、)C(，2) D(2，)解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a0时，目标函数为zx，此时目标函数仅在点(3，0)处取得最大值；当a0时，y，若使z取得最大值，则需取得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0)处取得最大值；当a0时，y，要使目标函数仅在(3,0)处取得最大值，则需，即0a2.综上，实数a的取值范围为(，2)通法在握1求目标函数的最值3步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的3类
9、目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.提醒注意转化的等价性及几何意义演练冲关1(2018湖州五校高三模拟)设实数x，y满足约束条件则z2xy的取值范围为()A(6，1) B(8，2)C(1,8) D(2,6)解析：选D法一：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示作出直线y2x，平移该直线，可知直线z2xy在点B(1,0)处取得最小值2，在点C(3,0)处取得最大值6，所以z2xy的取值范围为(2,6)法二：三条直线两两联立求
10、出的交点坐标分别是(1,2)，(1，0)，(3,0)，分别代入z2xy求值，得0，2,6，所以z2xy的取值范围为(2,6)2(2018杭州七校联考)已知x，y满足约束条件若z2xy的最大值为8，则实数a的值为()A2 B1C1 D2解析：选C将目标函数变形为y2xz，当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线xy50与2xy10的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax2y10恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需12，即2a4.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在B处取得最大值，代入目标函数得28，解得a1.3(2019宁波高三模拟)若x，y满足则
11、不等式组表示的平面区域的面积为_，z(x1)2(y1)2的最小值为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为510(2)30.z(x1)2(y1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(1，1)之间的距离的平方，数形结合易知，z(x1)2(y1)2的最小值为点M(1,1)到直线2xy0的距离d的平方，即zmin.答案：30典例引领(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元
12、，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线2 100x900y0，即7x3y0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000由题悟法1解线性规划应用题3步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数
13、学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式即时应用某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，
14、那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0B30,20C20,30 D0,50解析：选B设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图，得最优解为A(30,20)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：选C平面区域如图所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.所以SABC1.2不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C(x2y1)(xy3)0或画出图形可知选C.3(2019杭州高三质检
15、)若实数x，y满足不等式组设zx2y，则()Az0 B0z5C3z5 Dz5解析：选D作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线x2y0，平移该直线，易知当直线过点A(3,1)时，z取得最小值，zmin3215，即z5.4点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_解析：因为直线2x3y60的上方区域可以用不等式2x3y60表示，所以由点(2，t)在直线2x3y60的上方得43t60，解得t.答案：5(2019温州四校联考)若实数x，y满足约束条件则可行域的面积为_，z2xy的最大值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由得所以A，易得|BC|4，所以可行
16、域的面积S4.由图可知，当目标函数z2xy所表示的直线过点A时，z取得最大值，且zmax2.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018金华四校联考)已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于()A7 B5C4 D3解析：选B画出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y2x1与直线xym的交点使目标函数zxy取得最小值，由解得x，y，代入xy1，得1，m5.选B.2在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1C2 D3解析：选D因为axy10的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平
17、面区域为如图所示阴影部分ABC.由题意可求得A(0,1)，B(1,0)，C(1，a1)，SABC2，BC|a1|，BC边上的高为AD1，SABC|a1|12，解得a5或3，当a5时，可行域不是一个封闭区域，当a3时，满足题意，选D.3(2017浙江新高考研究联盟)过点P(1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|AB|的取值范围是()A(2，5) B2，5C2,5 D2，5)解析：选B不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(1，1)，|PA|AB|P1B|，过点P1作直线xy20的垂线，则|P1B|的最小值为2.由
18、得B0(2,3)，则|P1B|的最大值为|P1B0|5.故2|PA|AB|5.4(2018浙江名校联考)设x，y满足若z2xy的最大值为，则a的值为()A B0C1 D或1解析：选C法一：由z2xy存在最大值，可知a1，显然a0不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2xy0，平移该直线，易知，当平移到过直线xy20与axya0的交点时，z取得最大值，由得把代入2xy，得a1.法二：由z2xy存在最大值，可知a1，显然a0不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2xy0，平移该直线，易知，当平移到过直线xy20与axya0的交
19、点时，z取得最大值，由得把代入axya0，得a1.5(2018余杭地区部分学校测试)若函数yf(x)的图象上的任意一点P的坐标为(x，y)，且满足条件|x|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是()Af(x)ex1 Bf(x)ln(x1)Cf(x)sin x Df(x)|x21|解析：选C作出不等式|x|y|所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f(x)具有性质S，则函数f(x)的图象必须完全分布在阴影区域和部分，易知f(x)ex1的图象分布在区域和部分，f(x)ln(x1)的图象分布在区域和部分，f(x)sin x的图象分布在区域和部分，f(x)|x21|的图象分
20、布在、和部分，故选C.6当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1axy4恒成立，结合图可知，a0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a1，且2a14，故a的取值范围是.答案：7(2018金丽衢十二校联考)若实数x，y满足则的取值范围为_解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，的几何意义为可行域内一点(x，y)与点(1，1)连线的斜率，故由图可知，min，max，故的取值范围为.答案：8(2018金华十校联考)已知实数x，y满足当m2时，z|x5y6|的最大值为_；当m_时，x
21、，y满足的不等式组所表示的平面区域的面积为30.解析：作出所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,3)，B，C(0,2)，令ax5y6，即yxa，显然当直线过A(3,3)时，a取得最大值，此时a12，当直线过B时，a取得最小值，此时a，又z|a|，所以z的最大值为12.由方程组得A，由方程组得B，如图，易得D(0，3)，所以SABCSACDSBCD530，即9m26m80，所以m或m(舍去)答案：129已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧
22、，求a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)10若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在
23、点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018浙江名校联考)设实数x，y满足则x3y的最大值为_；若x24y2a恒成立，则实数a的最小值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1可知，当ux3y过点 A(2，2)时，ux3y取得最大值umax2328.令xx，2yy，则原不等式组等价于即作出可行域如图2中阴影部分所示，由图2可知，x2y2的最大值为原点到点B(2,4)的距离的平方，易得|OB|2224220，所以a的最小值为20.答案：8202某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金20
24、0万元，需场地200 m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100 m2，可获利润200万元现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.资金(百万元)场地(百平方米)利润(百万元)A产品(百吨)223B产品(百吨)312限制149设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，则约束条件为目标函数S3x2y.作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数S3x2y变形为yx，这是斜率为，随S变化而变化的一组平行直线是直线在y轴上的截距由图知，使3x2y取得最大值的(x，y)是直线2xy9与2x3y14的交点(3.25,2.50)，此时S33.2522.5014.75.生产A产品325吨，生产B产品250吨时，获利最大，且最大利润为1 475万元16
（浙江专版）2020版高考数学一轮复习 第二章 不等式 第四节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题学案（含解析）
