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1、2022年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（9） Word版含答案1、求值 2、已知：，则 3、已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足. 则的最小值为 ；动点M的轨迹方程.为 4、存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？则该二次函数的表达式为 5、设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数. 则数列的通项公式为 6、设，且中元素满足：对任何，恒有如果，则 的值为 7、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若其中，则的最大值是 8、平面上的向量与满足，若
2、点满足，则的最小值为 9、关于的方程有实根，则实数的取值范围是 10、已知不等式组的整数解恰有两个，则实数 的取值范围是 11、已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的取值范围为 12、若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 13、已知数列的首项，且 （），求使不等式成立的最小正整数 14、数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，an为整数；(2)对于任意，为完全平方数。(xx年高中数学联赛)15、数列an按如下法则定义：a1=1， 证明：对n1，均为自然数16、设为定义在正整数上的函数，且满足：对任意的，有。求函数。xx级暑假培优暨竞赛辅导（9）编辑：姚亚军1、
3、求值 思路分析：等式左边同时出现、，联想到公式.证明：评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证等.、2、已知：，则 解：3、已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足. 则的最小值为 ；动点M的轨迹方程.为 解：(1),以O为原点,的平分线为轴建立直角坐标系,则可设.于是的重心的坐标为 , =.又已知得,于是,且当时等号成立,故.(2),设,则由得,=b),得,代入,并整理得,这就是所求动点M的轨迹方程.4、存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？则该二次函数的表达式为 解： 设，则当时有： ； ；联立、，解得于
4、是， 下面证明：二次函数符合条件因为，同理：； 所以，所求的二次函数符合条件5、设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数. 则数列的通项公式为 解： n = 1时，由得p = 0或2，（2分） 若p = 0时， 当时，解得或， 而，所以p = 0不符合题意，故p = 2； 当p = 2时， ，则， 并化简得 ，则 ， 得（），又易得， 所以数列an是等比数列，且；6、设，且中元素满足：对任何，恒有如果，则 的值为 解： 不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素，且记各集合的落选元素分别为，则，由于= +=2646700， 而+=，=10002-100=9902， =
5、19800-9902=9898 -=+=+=200-）+10000= 由得：=1328750 7、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若其中，则的最大值是2解析：一般求最值问题时，宜采用函数建模的方法，将所求问题转化为初等函数问题。设，即于是。8、平面上的向量与满足，若点满足，则的最小值为解析：以为原点，建立平面直角坐标系，构造二次函数。9、关于的方程有实根，则实数的取值范围是解析：令，则原方程变为，方程有实根，即方程在上有实根，再令，其对称轴，则方程在上有一实根，另一根在以外，因而舍去，即。10、已知不等式组的整数解恰有两个，则实数 的取值范围是解
6、：方程的两个根或。当 时，无解。当 时，化为，此时，为正的纯小数，无整数解；当时，化为，整数解只有两个，故实数的取值范围为。11、已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的取值范围为12、若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是解法1：已知不等式化为，因为解集中的整数恰有个，则，即。不等式的解满足，即，显然，为使解集中的整数恰有个，则必须且只须满足，即，解得，所以实数的取值范围是。13、已知数列的首项，且 （），求使不等式成立的最小正整数 提示：容易求得该数列的通项公式为，所以所求最小正整数14、数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，an为整数；(2)对于任意，为完
7、全平方数。(xx年高中数学联赛)证明：(1)由题设得a1=5,且数列an严格单调递增,将条件变形得,两边平方法整理得 -得 , , 由及a0=1, a1=5可得an为正整数.(2)将两边配方得=记由于=从而式成立为完全平方数.15、数列an按如下法则定义：a1=1， 证明：对n1，均为自然数分析 因为结论中涉及到根号及a项，因而令，并对已给递推关系两边平方就容易找到解题思路 解 16、设为定义在正整数上的函数，且满足：对任意的，有。求函数。分析 定义在正整数上的函数，可以对所给方程进行转化得到关于的递推关系（把看成数列）。 解 将式两边同除可得对任意的，有。（此时，易证得对任意，） 依次以代入 式，可得 ， ， 将这个等式相加，得到，所以，所以，对任意，。说明 对于定义域为自然数的函数方程，往往可以转化为数列问题，通过找出的某个递归公式，然后依次取x为自然数个值代入递归公式，得到m个等式；设法利用这些等式消去以外其它形式的函数，即可求出函数方程的解。
2022年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（9） Word版含答案
