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1、2022年高中数学北师大版选修4-5教学案：第一章 5 不等式的应用(含答案)利用不等式解决实际问题中的大小问题t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t10)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由解：(1)f(0)1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是f(0)1，f(1)，在0，)上f(x)单调递减，且02时，f1(a)f2(a)；当a2时，f1(a)f2(a)；当0a2时，f1(a)2时，清洗两次后残留的农药量较少；当a2时，两种清洗
2、方法具有相同的效果；当0a2时，清洗一次后残留的农药量较少2设甲、乙两地距离为s，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v1(v10)，已知船在静水中的速度为v2(v20)，试比较v1和v2的大小解：设水流速度为v(v0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t平均速度v1.v10，v20，1()21.v1v2. 利用平均值不等式解决实际问题中的最值问题例2如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积思路点拨本题考查平均值不等式在解决实际问题中
3、的最值方面的应用，同时考查应用意识，转化求解能力解答此题需要通过具体问题列出目标函数，再利用平均值不等式求出函数的最值即可精解详析如图所示，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0x1)，则OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin 60(1x)于是容器的容积为Vf(x)Sh(6x2)(1x)x2(1x)(0x1)则f(x)x2(1x)xx(22x)3.当且仅当x22x，即x时，Vmax.故当正六棱柱容器的底面边长为时，
4、最大容积为.利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x取值范围的制约3甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(千米/时)的函数，指出定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度
5、行驶？解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为yabx2S.故函数及其定义域为yS，x(0，c；(2)由题知S，a，b，x都为正数，故有S2S，当且仅当bx，即x时上式等号成立；若c，则当x时，全程运输成本y最小；若c，当x(10，c时，有SSS(cx)(abcx)，cx0，abc2，abcxabc20，SS，当且仅当xc时上式等号成立，即当xc时，全程运输成本y最小，综上，为使全程运输成本y最小，当c时，行驶速度应为x；当c时，行驶速度应为xc.不等式的应用是高考的一个重要考向，常以解答题的形式出现，近几年高考中多次出现应用平均值不等式求最值的应用题，这符合新课标
6、对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向考题印证(湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确
7、到1辆/时)命题立意本题主要考查建立函数模型利用平均值不等式解决实际问题的能力，考查学生的应用意识自主尝试(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值，综上所述，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以
8、达到最大，最大值约为3 333辆/时对应学生用书P26一、选择题1某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为()A18B27C20 D16解析：平均销售量yt1018.当且仅当t，即t41,30等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()AVBVCV DV解析：设圆柱的底面半径为r，则高h32r.Vr2(32r)rr(32r)3.答案：B3汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0ab，则汽车全程的平均速度比a，b的
9、平均值()A大 B小C相等 D不能确定解析：设单程为s，则上坡时间t1，下坡时间t2，平均速度为v.答案：B4(山东高考)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1C. D3解析：由题意1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B二、填空题5设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_解析：设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3，三角形为直角三角形，S346.h13h24h356.3h14h25h3123.h1h2h3.答案：6(陕西高考)在如
10、图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_m.解析：如图，过A作AHBC于H，交DE于F，易知AFxFH40x.则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20m.答案：207设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_解析：设底面边长为x，高为h，则x2hV，h.又S表2x23xhx23xx233.当且仅当x2，即x时，S表最小答案：8建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为_元解析：设水池底面的长度
11、、宽度分别为a m，b m，则ab4，水池表面的总造价为y，则yab1202(2a2b)80480320(ab)480320248032041 760，当且仅当ab2时取“”答案：1 760三、解答题9.某住宅小区，为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于
12、x的函数关系式(2)计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQy，则x24xy200，y.S4 200x22104xy804y238 0004 000x2(0x10)(2)S38 0004 000x238 0002118 000，当且仅当4 000x2，即x时，Smin118 000,118 000元11.8万元即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区10某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200米2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污
13、水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，再设总造价为y元，则有y2x400800248280200800x16 0002 16 00044 800，当且仅当800x，即x18米时，y取得最小值当污水池的长为18米，宽为米时总造价最低，为44 800元(2)0x16,016，12.5x16.由(1)知，y(x)80016 000(12.5x16)对任意x1，x212.5,16，设x1x2，则(x1)(x2)8000(x1)(x2)，故y(x
14、)在12.5,16上为减函数，从而有(x)(16)45 000.当污水池的长度为16米，宽为12.5米时有最低总造价，最低总造价为45 000元11某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该厂应隔x(xN)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，x天饲料的保管与其他费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元)从而有y1(3x23x300)2001.83x357417.当且仅当3x，即x10时，y1有最小值即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25)y23，当x25时，y20，即函数y2在25，)上是增函数当x25时，y2取得最小值为390.而390417，该厂可以接受此优惠条件
2022年高中数学北师大版选修4-5教学案：第一章 §5 不等式的应用(含答案)
