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1、2022年高考数学 不等式中的恒成立问题练习一、不等式恒成立问题的标准型分离参数一般的，若函数在定义域为D，则当xD时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.即：1、 2、【例1】设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.【例2】设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.【例3】已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象.（1）写出函数的的解析式及其定义域；（2）当时，令，若总有成立，求实数的取值范围.【例4】一切实数，不等式恒成立，求字母的的取值范围.【
2、例5】函数（）.当，恒有求取值范围.【例6】当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围.【例7】已知当xR时，不等式a+cos2x2p+x恒成立的x的取值范围.【例2】对|m|2的一切实数m，求使不等式2x-1m(x2-1)都成立的x的取值范围。【例3】函数f(x)使 f(x2-1)=对于f(x)值域中的任何实数p,都有x2+(p-2)x+(1-p)0，求x的范围.【例4】已知f(x)=(xR，-1a1)，设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立？若存在，求m的取值范
3、围；若不存在，请说明理由。三、化归成根的分布问题分类讨论【例1】设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围.【例2】已知函数， 若在上恒有意义，求实数a的取值集合.四、利用函数的图像函数与方程思想【例1】当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围.【例2】已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围.【例3】求证： ，对于恒有成立.【例4】对于，不等式恒成立，求的取值范围不等式中的恒成立问题（老师用）一、不等式恒成立问题的标准型分离参数一般的，若函数在定义域为D，则当xD时，有恒
4、成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.即：1、 2、【例1】设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立.令，又则对恒成立，又在上为减函数，.【例2】设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得.【例3】已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象.（1）写出函数的的解析式及其定义域；（2）当时，令，若总有成立，求实数的取值范围.解：（1）易求得
5、（2）由题意得当时，.设.当，时函数为增函数；所以当时， ，若总有成立.【例4】一切实数，不等式恒成立，求字母的的取值范围.解：不等式可以化为，（）.函数，则 .【例5】函数（）.当，恒有求取值范围.解：函数的对称轴式，由于，.因此，函数在上单调递减.，解得.因，所以.【例6】当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围.解1：原不等式当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立设则解2：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立.设f(t)= 2t2-4t+
6、4-a，显然f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2【例7】已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或,解得a2p+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题.解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p
7、+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x3.方法二：即解得：x3.【例2】对|m|2的一切实数m，求使不等式2x-1m(x2-1)都成立的x的取值范围。解：原不等式等价于不等式(x2-1)m -(2x-1)0.设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则原问题转化成求一次函数f(m)或常函数在-2，2内恒为负值时，x取值范围。（1）当x2-1=0时，x=1.当x=1时，f(m)0恒成立，当x=-1时，f(m)0，求x的范围.解：换元易求f(x)=,且为减函数，由单调性知，0=f(3) 于是，问题化为，0中的任何实数p，都有x2+
8、(p-2)x+(1-p)0.若视关于x的二次不等式需分类研究.若“化参数p为主元”可构造“一次函数的保号性”求解x2+(p-2)x+(1-p)0,问题化为g(p)= 由“一次（或常）函数闭区间上图象”的性质，只需g(0)=x2-2x+10,g(解之所求x的范围为（-【例4】已知f(x)=(xR，-1a1)，设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。解：由=，得x2-ax-2=0，=a2+80，x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根， x1+x
9、2=a， 从而|x1-x2|=.x1x2=-2，-1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t-1，1恒成立，即m2+tm-20对任意t-1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)， g(-1)=m2-m-20， g(1)=m2+m-20，m2或m-2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m-2.三、化归成根的分布问题分类讨论【例1】设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围.解
10、：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1.【例2】已知函数， 若在上恒有意义，求实数a的取值集合.解：由已知对于任意恒成立，则或，xyo12y1=(x-1)2y2=logax解得实数a得取值范围为.四、利用函数的图像函数与方程思想【例1】当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围.解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛
11、物线，要使对一切x(1,2), 1,并且必须也只需故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可.解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间.（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）.【例3】求证： ，对于恒有成立. 解析：通过分离系数，得，由图像可知，函数单调递增，故得证【例4】对于，不等式恒成立，求的取值范围 解：构造函数，在图中画出的图像， ，可见两函数交于点.因为，的图像应落在上部分区域.不等式恒成立，相当于函数图像总是在所有函数图像下方部分，则
2022年高考数学 不等式中的恒成立问题练习
