物理竞赛中的数学知识

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1、物理竞赛中的数学知识、重要函数y=sinx-52-4 -7 -3 -2 -3 -y-21y=cosx-5-3 20-1 222yy=tanx35 32-4 -72-2 -3273 Jx3.反三角函数反正切 x的角。Arctan x ,反余切Arccot x这些函数的统称,反正弦 Arcsin x , 反余弦 Arccos x , 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为二、数列、极限1 .数列：按一定次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 排在第一位的数称为这个数列的第 1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列 的第2项排在第n位的数称为这个数列的第 n项。数列的

2、一般形式可以写成ai, a2, a3,，an, a(n+i), 简记为 an,通项公式：数列的第 N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式。2 .等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式 an=a1+(n-1)d ,前 n 项和 Sn a一an n na1 n(n-d22等比数列：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项

3、公式 an=a1q(n-1),前 n 项和 Sn a1 anq a1。q ) (q 1)1 q 1 q3.所有项和Sn求和符号(q 1)4.数列的极限:设数列an ,当项数n无限增大时，若通项an无限接近某个常数A,或称A为数列an的极限，记作lim anAn否则称数列an发散或lim an不存在. n三、函数的极限：在自变量 x的某变化过程中，对应的函数值 则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变化过程中的极限。设f(x)在xa(a0)有定义,对任意0,总存在X0,当xX时,A是函数f(x)当x +时的极限。记为 Jm f(x)=A,或f(x) A(x运算法则lim f(x) g(x)= l

4、im f(x) lim g(x)x xox xox xoA,则称数列an收敛于f(x)无限接近于常数A,恒有| f(x) A| ,则称常数 + )。lim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x) x x)x xox xof(x)呵f(x)lim ,其中 lim g(x) o.x xo g(x) lim g(x) x x。x xo四、无穷小量与无穷大量1 .若lim f(x) 0,则称f (x)是xx/寸的无穷小量。x xo(若lim g(x)，则称“*)是*%时的无穷大量)x xo或：若lim (x)=o，则称(x)当x xo时为无穷小。 x xo在自变量某变化过程中，|f(

5、x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为lim f (x).2 .无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3 .无穷小量的运算性质(i)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。(ii)无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。(iii)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4 .无穷小的比较定义：设 lim (x)=o, lim (x)=o, x 0x 0(x).1)右lim=0,则称当x xo时(x)是比(x)局阶无否小。x o (x)(x)2)若hm/=，则称当x xo时(x)是比(x)低阶无穷小。x o (x).一(x)3)若hm=C(C。)，则称

6、当x xo时(x)与(x)是同阶无穷小,x o (x)4)若lim (x)=1,则称当x xo时(x)与(x)是等价无穷小。 x o (x)5.常用的等价无穷小为：1 2 n 1当 x o 时： sin x x, tan x x, arcsin x x, arctan x x, 1 cos x x n 1 x 1 x 2n等价无穷小可代换五、二项式定理1 .阶乘： n!=1 X 2X 3XXnn (nWm)个元素的所有组合的个数，叫做从2 . 组合数：从 m个不同元素中取出个不同元素中取出n个元素的组合数_ . _ _ pm-H% 一注! O - 丁3.二项式定理。+ b)71 = V其中c；

7、=-(n 一汴社六、常用三角函数公式sin (兀+ a ) = sin a cos (兀 + a ) = cos a tan(兀 + a ) = tan asin (兀/2 + a ) = cos a cos (兀/2 + a) = sin atan (兀 /2 + a ) = cot asin( AB) sin AcosB cos Asin B sin( A B)sin AcosB cosAsin Bcos(AB) cosAcosB sin Asin B cos(A B)cosAcosB sin Asin Bsin 2A2 .2sin AcosA cos2A cos A. 2 .sin A_

8、22sin 2 A_22cos2 A 1tan2A2 tan AA2A sin 21 cos A2A tan 21 cos Asin A1 cos A1 cos A和差化积公式sin asinbcosacosba b 2sin2o a b2cos2cos2a b . sinaa bcos cosa2tanatan bsin a bcosa cosb积化和差公式sin asin bsinacosb1.cos a b21 .sin a b2cos a bsin a万能公式a2tan2 sin a - cosa2 a1 tan22 a tan 一22 a1 tan2sin bcosba b 2cos

9、2.a b sina 2sin2a b sin2cosacosbcosa b cos a,.,1 .b cosasin b sin 2tanaa 2tan-22 a1 tan2sin a b典型物理问题数列极限等应用1.蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离Li=im的A点处时，速度是 Vi=2cm/s。试问蚂蚁继续由 A点到距巢中心 L2=2m的B 点需要多长时间？2.a3常见近似处理1 .人在岸上以V0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少?M推动，凸轮绕O轴以匀 n与OA之间的夹角为 飞)2 .如图所示，顶杆 AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由

10、凹轮 角速度3转动.在图示的瞬时，OA=r,凸轮轮缘与 A接触，法线 试求此瞬时顶杆 AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题3 .三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点 A,B,C出发，速率都是 v,运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4 .如图所示，半径为 R的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动， 试问稳定平衡时，R与R应满足什么条件？5 .一只狐狸以不变的速度 i沿着直线 AB逃跑，一只猎犬以不变的速率 2追击，其运动方 向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬

11、在 D处，FDXAB ,且FD=L,如图14 1所示, 求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬2做匀速率曲线运动，根据向心加速度a 上，r为猎犬所在处的曲r率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在 D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间 t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R,则加速度其方向与速度方向垂直，如图141 一甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达F与D，猎

12、犬的速度方向转过的角度为2 t/R而狐狸跑过的距离是：i t= L 因而2 t/R= i t/L, R=L 2/ 12所以猎犬的加速度大小为a = 1 2/LR6 .如图所示，半径为 R,质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来研究， 当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式sin .若取绳圈上很短的一小段绳 AB= L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为TA和TB （方向见图143一甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以TA和TB的大小相等，均等于T. TA和TB在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速

13、圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为据牛顿第二定律有：2T sin m 2R ；2很小所以sin 2m2因为 L段很短，它所对应的圆心角将此近似关系和 m R 2 Rm 2R代入上式得绳中的张力为T 27.在某铅垂面上有一固定的光Vt直角三角形细管轨道ABC ,光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点 A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道 AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计在此直角三角形范围内可构建一系列如图144中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道

14、与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为“卜、li、2、13,如图144一甲所示，小球从 A到B的时间12(图14-4-甲记为Ti ,再从B到C的时间为T2,而从A直接沿斜边到C 所经历的时间记为 T3,由题意知Ti T2 T3 ,可得li : I2 ：底=3: 4: 5,由此能得Ti与T2的关系.A因为 li igTi2li gTiT22T2 b因为 li ： 12 =3 ： 4,所以 T2Ti3小

15、球在图i4 4乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为ti Ti,经各水平段所需时间之和记为 t2,则从A到C所经时间总和为t Ti t2 ,最短的t2对应t 的下限tmin ,最长的t2对应t的上限tmax.小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与 BC重合）时t2最短，其值即为T2,故t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量li,便接一段水平小量这两个小量之间恒有l2liCOt ，角 即为/ACB,水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继

16、续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于l1、 l2均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量 ti（i）与t2（i）之间有如下关联：t2(i)tillcot于是作为t2(i)之和的t2上限与作为 ti(i)之和的Ti之比也为cot .故t2的上限必为T1cot,即得：tmaxT1T1 8t7T1这样 tmax ： tmin =7：5求导与微分、导数的概念1.导数定义设y=f(x)在xo的某邻域内有定义，在该邻域内给自变量一个改变量x，函数值有一相应改变量 yf(xox)f(xo),若极限存在，则称此极限值为函数.y .f (xox) f (xo)lim lim -x o

17、x x oxy=f(x)在xo点的导数，此时称y=f(x)在xo点可导，用f (xo)或，或xxodydyx x x0或df(x)dx表本.x xo若y f (x)在集合D内处处可导(这时称 f(x)在D内可导)，则对任意xo D ,相应的导数f (x0)将随xo的变化而变化，因此它是x的函数，称其为y=f(x)的导函数，记作f (x)或 y，或曳或, 人 dxdf (x)dx2.导数的几何意义若函数f(x)在点xo处可导，则f (xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,yo)处切线的斜率，此时切线方程为 y yo f (xo)(xxo).当f (x0)=o，曲线y=f(x)在点(xo,yo)处

18、的切线平行于x轴，切线方程为yyf(x).若f(x)在点xo处连续，又当x xo时f (x)，此时曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线垂直于x轴，切线方程为x=xo.1.几个基本初等函数的导数1 “x sin x cosx cosxsin x2.导数的四则运算(1)(2)(3)c u(x) c u(x) v(x) u(x) v(x)u (x);u (x) v(x)；u (x) v (x) u(x) v (x)；(4)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v2(x)微分1.微分的概念设y f(x)在xo的某邻域内有定义，若在其中给 量y可以表示为x0 一改变量x，相应的函数值

19、的改变yf(xx) f(x0) A x 0( x)其中A与x无关，则称f (x)在x0点可微，且称x 0).x为f (x)在x0点的微分记为dydfxx0A x. x0A x是函数改变量y的线性主部.y f (x)在xo可微的充要条件是f (x)在xo可导，且dyf (x0 x).当 x %f(x) x时，可得dx x,因此dyf xx0(x0)dx,dy f (x)dx.由此可以看出，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义当x由x0变到x0x时，函数纵坐标的改变量为y，此时过x0点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy y时，切线在曲线上方，曲线为凸弧.O

20、?图2T2 .微分运算法则设u(x),v(x)可微，则d(cu(x) cdu(x), d(c) 0.du(x) v(x) du(x) du(x).du(x) v(x) u(x)dv(x) v(x)du(x).,u(x) v(x)du(x) u(x)dv(x)d2v(x)v (x)三、不定积分1 .不定积分概念【定义】(原函数)若对区间I上的每一点x,都有F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx,则称F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x)，则它就有无穷多个原函数，且这无穷多个 原函数可表示为 F (x) +C的形式，其中C是任意常数.【

21、定义】(不定积分)函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记作 f(x)dx.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)dx F(x) C(C是任意常数)2 .不定积分的性质(1)积分运算与微分运算互为逆运算. f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx, dxF (x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C.(2) kf (x)dx k f (x)dx(常数k 0)(3) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx3.基本积分公式i x kdx kx c x dx c1cosxdx sin x c sinxdx cosx c四、定积分【定义】

22、(定积分)函数f (x)在区间a,b上的定积分定义为bnf (x)dx lim f ( i) xi , ax 0i i【定理】(牛顿-莱布尼茨公式)若函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则bf(x)dx F(x)abF(b) F(a). a上述公式也称为微积分基本定理，是计算定积分的基本公式常见应用1. 一石砌堤，堤身在基石上，高为 h,宽为b,如图所示。堤前水深等于堤高h,谁和堤身的单位体积重量分别为 q和丫，问欲防止堤身绕 A点翻倒，比值b/h应等于多少？h2. 一个半径为四分之一的光滑球面置于水平桌面上.球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，一端固定于球面

23、顶点 A,另一段恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为p,求铁链A端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力.3. 质量为m的均匀橡皮圈处于自然状态下的半径为ri,弹性系数为ko现将它保持水平套在半彳5为2的竖直圆柱上（r2ri）,套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面 之间的静摩擦因数为 重现在圆柱体绕竖直轴转动起来，如图所示：问要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度 3不能超过多少？常用数学知识汇总、三角函数公式1.两角和公式sin( A B)sin AcosBcos Asin B sin( A B) sin AcosB cosAsin Bcos(A B)tan(A B)cot(A B)

24、2.二倍角公式sin Asin Bcos A cos B sin Asin B cos(A B) cos AcosBtan A tanB tan A tan B tan(A B)1 tan Atan B1 tan Atan Bcot A cot B 1cot A cotB 1cot(A B)cot B cot Acot B cot A2 .222 .sin 2A 2sin AcosA cos2 A cos A sin A 1 2sin A 2cos A 1tan2A2 tan A1 tan2 A3.半角公式,A 1 cos A A 1 cos Asincos.2.22.2,A 1 cos A

25、tan一.2. 1 cosAsin Acot Aj1 cos A1 cos A 2 1 cos Asin A1 cos A4.和差化积公式sin asinb2sin acosacosb2a b 2cos2b a一 cossina sinb 2cos 2sintanatan bsin a bcosa cosb5.积化和差公式sin asin bsinacosb6.万能公式sin a -1a bacos cosa cosb 2sin2cos a bcosacosb1 . sin a2c, a2 tan2-cosatan27.平方关系2sin x2cos x2 sec x,.,1sin a b co

26、sasin b 一 22 a tan 一2 ,tana2 a1 tan2 - 2 a 2tan22 a1 tan2 - 2sin.2ta n x 12 csccot2.a b sincosa b cos a bsin a b8 .倒数关系tanx cotx 19 .商数关系secx cosx1 cscxsin x, sinx , tanx cotxcosxcosx二、重要公式（1）sin xsin x(2) limx 0(3) lim n a(a o) 1 n(4) lim n/n 1 n(5)limarctan xx(6) lim arctanx 一 x2 limarccot x 0x(8)

27、lim arccot xx(9) lim ex0x(10) lim exx(11)lim xx 1x 0卜列常用等价无穷小关系(x0)sinx: xtanx: xarcsinx: xarctanx: x 1cosx:Inxx1 x : x e 1: x a 1:x In a四、导数的四则运算法则v u v uvuu v uv 一 vuv-2 v五、基本导数公式1. sin x cosx(4)cosxsin x,2tan x sec x cot x2csc xsecxsecx tan x cscxcscx cotx(io)axax ln a (ii)inx 二 xlogax1 x In aarc

28、sin x1,(14) arccosxx211x2(15)arctan x11 x2(16) arccot1a?) x1 x21(18)12 x八、微分公式与微分运算法则1 .dxdsin x cosxdxcosxsin xdx dtanx2sec xdx d cot xcsc2 xdxsecx secx tanxdx d cscxcscx cotxdxMdx x . x x 1.e e dx (io) d a a InadxdD d In x - dx x.x 1.log a dx (13) d arcsin xxln a1八, dx(14)d、1 x2arccosx(15) darctanx1九、微分运算法则1,，2 dx(16) d arccot x x d u v dudv d cucdu d uv vdu udv d vvdu udv十、基本积分公式kdx kx c x1dx dxIn x c(4)xax,、a dx c In axxe dx ecosxdx sin x csin xdx cosx1 c2 cos-dx xse(2 xdx tanx ccsc2 xdxcot xsin xC(10)1.,2 dx arctanx c1 x2= =dx arcsinx c ,1 x2