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1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂火电厂”，其形状就像照片中其形状就像照片中“粗烟囱粗烟囱”. .那么这些那么这些“粗烟囱粗烟囱”是怎样建成的呢？是怎样建成的呢？冷却通风塔冷却通风塔如果你是设计师你将如何设计？如果你是设计师你将如何设计？1.1.会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察
2、其图象有何几何特征其图象有何几何特征. .( (重点重点) )2.2.会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取 双曲线的简单几何性质，并能初步应用双曲线的简单几何性质，并能初步应用. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质2222100(,)xyabab回忆一下双曲线的标准方程：回忆一下双曲线的标准方程： 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？质呢？1.1.范围范围221因因为
3、为， xaxyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22xa 即即，所所以以或或 .xaxa1A2A2.2.对称性对称性 以以-x-x代代x x方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 轴对称；轴对称；以以-y-y代代y y方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 轴对称；轴对称；以以-x-x代代x x且以且以-y-y代代y y方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 对称对称y yx x原点原点3.3.顶点顶点（1 1）令）令y=0y=0，得，得x=x=a,a,则双曲线与则双曲线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)
4、(a,0)，我们把这两个点叫，我们把这两个点叫双曲线的顶点双曲线的顶点; ; 令令x=0,x=0,得得y y2 2=-b=-b2 2, ,这个方程没有实数根，说明双曲这个方程没有实数根，说明双曲线与线与y y轴没有交点，但我们也把轴没有交点，但我们也把B B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)画在画在y y轴上轴上. .（2 2）如图，线段）如图，线段A A1 1A A2 2叫做叫做双曲双曲线的实轴线的实轴，它的长为，它的长为2a,a2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的实半轴长；线段B B1 1B B2 2叫做叫做双曲线的虚轴双曲线的虚轴，它的长，它的长为
5、为2b,b2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长. .xyo1B2B1A2AF F2 2F F1 1a ab b4.4.渐近线渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢时，与直线逐渐靠拢.方案方案2 2：考查同横坐标的两点：考查同横坐标的两点间的距离间的距离 .MN方案方案1 1：考查点到直线的距离：考查点到直线的距离 . .MQyB2A1A2 B1 xOb aM NQ 由双曲线的对称性知，由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部我们只需证明第一象限的部分即可分即可.2222100(,)xyabab22 ( ,
6、),()(. )bM x yyxaxaabbN xYyxYxaa设设是是双双曲曲线线上上面面的的点点 则则，是是直直线线上上有有相相同同横横坐坐标标的的点点，则则XMYOQN(x,y)(x,Y)2221因因为为 ， ( )bbabyxaxx Yaaxa22所所以以 ()bMNYyxxaa222222()().bxxaxxaaxxa 22ab.xxa00.bMQMyxMQMNxaMNxMNMQ是是点点到到直直线线的的距距离离，且且当当 逐逐渐渐增增大大时时，逐逐渐渐减减小小， 无无限限增增大大，接接近近于于 ，也也接接近近于于22221.xybyxaba 对对于于双双曲曲线线，直直线线叫叫做做双
7、双曲曲线线的的渐渐近近线线注：注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否曲线张口的开阔与否.222222212 , .xyababxyaa在在方方程程中中，如如果果，那那么么双双曲曲线线的的方方程程为为它它的的实实轴轴和和虚虚都都等等于于长长轴轴 , . xa yayx 这这时时，四四条条直直线线围围成成正正方方形形，渐渐近近线线方方程程为为它它们们互互相相垂垂直直，并并且且平平分分双双曲曲线线实实轴轴和和虚虚轴轴所所成成的的角角实轴和虚轴等长的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.5.5.离心率：离心率：01 ,
8、 .,.cacacea与与椭椭圆圆类类似似 双双曲曲线线的的焦焦距距与与实实轴轴长长的的比比叫叫做做因因为为所所以以双双曲曲线线的的离离心心率率双曲线的离心率双曲线的离心率思考：思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？离心率刻画双曲线的什么几何特征？，由222)(1ababaace 因此，因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭. 所
9、以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量几何量.xa 或或xa ya ya 或或0(, )a 0( ,)a byxa ayxb cea 222222( (其其 中中c =a +b )c =a +b )关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象【提升总结提升总结】双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质. .x xy yx xy y【例例】求双曲线求双曲线9y9y2 2-16x-16x2 2=144
10、=144的半实轴长和半虚轴的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：解：把方程把方程9y9y2 2-16x-16x2 2=144=144化为标准方程化为标准方程2222143.yx2222435.cab由此可知，半实轴长由此可知，半实轴长a=4,a=4,半虚轴长半虚轴长b=3;b=3;焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5);(0,-5),(0,5);54;cea离离心心率率43.yx 渐渐近近线线方方程程为为渐近线上，则渐近线上，则C C的方程为（的方程为（ ）1.1.（20122012湖南高考）已知双曲线湖南高考）已知双曲线C C： (a0,
11、b0)(a0,b0)的焦距为的焦距为10 10 ，点，点P P（2,12,1）在）在C C的的12222byax1205B. 1520 .A2222yxyx18020D. 12080 .C2222yxyxA2 2双曲线双曲线3 3x x2 2y y2 23 3的渐近线方程的渐近线方程是是 ( () )A Ay y3x3x B By y x xC Cy y x x D Dy y x x33313C C3 3与双曲线与双曲线 有共同的渐近线，且过点有共同的渐近线，且过点(2(2，2)2)的双曲线的标准方程是的双曲线的标准方程是 1422yx221312xy4 4求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点
12、求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P P(1(1，3)3)，离心率为，离心率为 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程解析：解析：因为离心率为因为离心率为 ，所以所以e e2 2 即即a ab b，所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准 方程为方程为x x2 2y y2 2(0)(0)，又点又点P(1P(1，3)3)在双曲线上，则在双曲线上，则1 19 98 8，所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为2222222212 cabbaaa ，22yx1.882xyoax 或axayay 或)0 ,( a), 0(axabyxbayace 222222( (其其 中中c =a +b )c =a +b )关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象x xy yx xy y 人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。
222双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质
