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1、2022年高考数学一轮复习 第12章 选修4系列 第3讲 绝对值不等式讲义 理（含解析）考纲解读1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式(重点)2.掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容. 预测2020年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围. 以解答题的形式呈现，属中档题型.1绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(
2、ab)(bc)0时，等号成立，即b落在a，c之间(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.2绝对值不等式的解法(1)形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解(2)绝对值不等式|x|a与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或axbc(c0)1概念辨析(1)不等式|x1|x2|c的解集为R，则c0.()(3)|axb|c(c0)的解集，等价于caxbc.()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)
3、2小题热身(1)设a，b为满足ab|ab| B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|答案B解析ab|ab|.(2)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析由|kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.(3)函数y|x3|x3|的最小值为_答案6解析因为|x3|x3|(x3)(x3)|6，当3x3时，|x3|x3|6，所以函数y|x3|x3|的最小值为6.(4)不等式|x1|x5|2的解集是_答案(，4)解析|x1|x5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差而数轴上满足|x1|x5|2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x1|x5|2；(2)求函数y
4、f(x)的最小值解(1)解法一：令2x10，x40分别得x，x4.原不等式可化为：或或原不等式的解集为.解法二：f(x)|2x1|x4|画出f(x)的图象，如图所示求得y2与f(x)图象的交点为(7,2)，.由图象知f(x)2的解集为.(2)由(1)的解法二知，f(x)min.条件探究把举例说明中函数改为“f(x)|x1|2x3|”，解不等式|f(x)|1.解f(x)yf(x)的图象如图所示由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x或1x5.解|xa|xb|c或|xa|xb|c的一般步骤(1)零点
5、分段法令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集(2)利用|xa|xb|的几何意义数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解见举例说明提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 1求不等式|x1|x2|5的解集解当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x
6、3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x22若关于x的不等式|ax2|3的解集为x，求a的值解|ax2|3，1ax0时，x，且无解；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x5|x2|的解集；(2)若g(x)f(xm)f(xm)的最小值为4，求实数m的值解(1)f(x)5|x2|可化为|2x3|x2|5，当x时，原不等式化为(2x3)(x2)5，解得x2，x2；当2x5，解得x0，2x5，解得x5|x2|的解集为(，0)(2，)(2)f(x)|2x3|，g(x)f(xm)f(xm)|2x2m3|
7、2x2m3|(2x2m3)(2x2m3)|4m|，依题意有4|m|4，解得m1.角度2用绝对值不等式的性质证明不等式(多维探究)2设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.即|2xy4|a.结论探究举例说明条件不变，求证：|x2y1|a2.证明|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y1)|x1|2(y2)2|x1|2|y2|222a2.1证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题
8、，利用数形结合进行证明2用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值 (2018江西南昌模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值解(1)由题意f(x)2|x1|，即为|x1|1.而由绝对值的几何意义知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.实数a的取值范围是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a2知1的解集；(2)若x(0,1
9、)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故01有解，求a的取值范围解当x(1,0)时，f(x)1有解|xa|2x有解2xxa2x有解3xa3，x1，3a1，即实数a的取值范围是(3,1)两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(
10、x)a恒成立af(x)min.(2)第二招是求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；利用零点分区间法 已知f(x)|xa|，aR.(1)当a1时，求不等式f(x)|2x5|6的解集；(2)若函数g(x)f(x)|x3|的值域为A，且1,2A，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式为|x1|2x5|6.当x1时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x0，所以x0；当1x时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x2，所以x；当x时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x4，所以x4.综上所述，原不等式的解集为x|x0或x4(2)因为|g(x)|xa|x3|xa(x3)|a3|，所以g(x)|a3|，|a3|，所以函数g(x)的值域A|a3|，|a3|，因为1,2A，所以解得a1或a5.所以实数a的取值范围是(，15，)
2022年高考数学一轮复习 第12章 选修4系列 第3讲 绝对值不等式讲义 理（含解析）
