大学物理学习资料：3-2电磁-2

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1、12-1 2-1 如图在电容器中充入两种介质如图在电容器中充入两种介质, ,其相对电容率为其相对电容率为 r1r1和和 r2r2 (1)(1)在充入介质保持电源与电容器的极板相连接；在充入介质保持电源与电容器的极板相连接；(2)(2)电容器电容器充充电电后后, ,与与电源电源断开断开, ,再充入介质再充入介质, ,以上两种情况下以上两种情况下, ,两种介质中的两种介质中的场强之比场强之比? ?极板上电荷是否均匀极板上电荷是否均匀?(3)?(3)这两种情况下电容如计算这两种情况下电容如计算? ?第二章第二章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 r2r2 r1r1解解:(1)保持电源与电

2、容器相连保持电源与电容器相连再充入介质再充入介质, , Q Q0 0变变 U1=U2 , E1=E2 ,2r21r12r021r01 D ,DD (2)(2)充充电电后后, ,与与电源电源断开断开, ,再充入介质再充入介质, , Q Q0 0不变不变 , ,U1=U2 , E1=E2 2r21r12r021r01 D ,DD (3)(3)这两种情况下电容可看作并联这两种情况下电容可看作并联dsdsCCC22r011r021 2 r rd d d d, ,2-2 2-2 如图平行板电容器面积为如图平行板电容器面积为S S，两板间距为两板间距为d.d.(1)(1)在保持电源与在保持电源与电容器的极

3、板相连接电容器的极板相连接情况下扦情况下扦入厚度入厚度为为d d介质介质, ,求介质内外求介质内外场强场强之比之比；(2)(2)电容器电容器与与电源电源断开断开, ,再扦入介质再扦入介质, ,情况如何情况如何?(3)?(3)扦入不扦入不是介质是介质, ,而是金属平板而是金属平板.(1),(2).(1),(2)这两种情况如何这两种情况如何? ?解：解：(1)(1)在保持电源与电容器的极板相连接在保持电源与电容器的极板相连接情情况下扦况下扦入厚度入厚度为为d d介质介质, ,介质内外介质内外场强之比场强之比. .D=D1=D2= , 0 0E E1 1= = r r 0 0E E2 2r21EE

4、r rd d d d2r01021EE DDD (2)(2)先充电后再插入介质，先充电后再插入介质， r21EE (3(3）如果插入的不是介质板而是一块金属板，）如果插入的不是介质板而是一块金属板，金属板金属板内内E=0,电势差变小电势差变小:ddSVQC )dd()dd(EV00 d d d d323 23 在一个点电荷的电场中在一个点电荷的电场中, ,以点电荷所在处作一个球形封闭曲面以点电荷所在处作一个球形封闭曲面，问在下列情况下，问在下列情况下, ,高斯定律是否成立？有能否由高斯定律求出这高斯定律是否成立？有能否由高斯定律求出这些曲面上的电场强度？（些曲面上的电场强度？（1 1）电场中有

5、一块对球心不对称的电解质）电场中有一块对球心不对称的电解质；（；（2 2）电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。）电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。解解: :下列下列(1) (1) (2)情况情况, ,高斯定律高斯定律均均成立成立! !但但 : (1)电场中有一块对球心不对称的电解质电场中有一块对球心不对称的电解质, ,极化后产生一附加场极化后产生一附加场E,这样各点电场不再球面对称这样各点电场不再球面对称,不不能由高斯定律求出这些曲面上能由高斯定律求出这些曲面上的电场强度的电场强度! ! (2)(2)电场中有一块以点电荷为中心的均匀球壳形电解质。电场中有一块以点电荷为中心

6、的均匀球壳形电解质。这样各这样各点电场点电场是是球面对称球面对称,能由高斯定律求出这些球形封闭曲面的电场能由高斯定律求出这些球形封闭曲面的电场强度强度2-4 下列说法是否正确下列说法是否正确, ,为什麽？为什麽？(1)(1)高斯面内如无自由电荷，高斯面内如无自由电荷，则则面上各点面上各点D必为零；必为零；(2)高斯面上各点的高斯面上各点的D为零为零,则面内一定没有则面内一定没有自由电荷自由电荷.(3)高斯面上各点的高斯面上各点的E均为零，则面内自由电荷电量的均为零，则面内自由电荷电量的代数和为零代数和为零,极化电荷电量的代数和也为零极化电荷电量的代数和也为零;(4)通过高斯面的通过高斯面的D通

7、量只与面内自由电荷的电量有关；通量只与面内自由电荷的电量有关；(5)D仅与自由电荷有关。仅与自由电荷有关。4解解: : 高斯高斯定理是研究闭曲面定理是研究闭曲面D的通量等于面内自由电荷电量的代的通量等于面内自由电荷电量的代数和数和 ,而而D本身不仅与自由电荷有关本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关还与极化电荷有关.故故:（1 1）面内如无自由电荷，）面内如无自由电荷，而而面面外有外有,则面上各点则面上各点D不见得为零；不见得为零；（2）高斯面上各点的）高斯面上各点的D为零，则面内一定没有自由电荷。正确为零，则面内一定没有自由电荷。正确!（3）高斯面上各点的）高斯面上各点的E均为零，则面内自

8、由电荷电量的代数和均为零，则面内自由电荷电量的代数和 为零，极化电荷电量的代数和也为零；为零，极化电荷电量的代数和也为零；（4）通过）通过闭合闭合高斯面的高斯面的D通量只与面内自由电荷的电量有关；通量只与面内自由电荷的电量有关；这种才对这种才对!（5）不对）不对. D本身不仅与自由电荷有关本身不仅与自由电荷有关,还与极化电荷有关还与极化电荷有关.2-5 2-5 D D线，线，E E线和线和P P线各起自何处？线各起自何处？ r r r r r r D D线线 E E线线 P P线线答答:以以平行板电容器介质板平行板电容器介质板为例画出为例画出D D线，线，E E线和线和P P线线示意图示意图.

9、 .52-6 2-6 证明两个无限大平行带电导体板证明两个无限大平行带电导体板(1)(1)相向的两面上，电荷的相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而异号；面密度总是大小相等而异号；(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而同号。总是大小相等而同号。243121QssQss 由左导体内电场为零得：由左导体内电场为零得： 0222204030201 1 1 2 2 3 3 4 4由右导体内电场为零得：由右导体内电场为零得：连立上述四个方程解得：连立上述四个方程解得：0222204030201 s2QQs2QQ21312141证明：设各板面电荷密度为证明：设各板

10、面电荷密度为 1 1, , 2 2. . 3 3, , 4 4。由电荷守恒，得：由电荷守恒，得：62-7 2-7 两个面积均为两个面积均为S S的平行金属板，两板间距的平行金属板，两板间距d d远小于板的限度远小于板的限度，已知其中一块金属板上带的电量是，已知其中一块金属板上带的电量是q,q,另一块上所带电量是另一块上所带电量是2 2q,q,试求（试求（1 1）板上各面的面密度是多少？（）板上各面的面密度是多少？（2 2）两板间的电势差是）两板间的电势差是多少？（多少？（3 3）两板外电场强度是多少？）两板外电场强度是多少？解解:(1):(1)以以2-62-6的结果，以的结果，以Q Q1 1=

11、q, Q=q, Q2 2=2q=2q带入求得：带入求得：s 2q s 2q33141 ( (2)2)两板间的电势差两板间的电势差s2d . qddEvv00221 (3)(3)两板外的电场由高斯定理求得：两板外的电场由高斯定理求得：s2q3E ssE00404 7补充补充2.1.1 有一半径为有一半径为0.010.01米的金属球米的金属球A A带电带电q=1.0 q=1.0 1010-8-8库仑，库仑，把原来一个不带电的半径为把原来一个不带电的半径为0.200.20米的薄金属球壳米的薄金属球壳B B同心的罩在球同心的罩在球A A的外面。的外面。(1)(1)求距球心求距球心0.050.05米处的

12、电势米处的电势;(2);(2)求距球心求距球心0.150.15米处的米处的电势电势;(3);(3)求求B B球的电势球的电势;(4);(4)若若A,BA,B两求用导线连接两求用导线连接, ,求求B B球的电势球的电势. .解：由高斯定理求得电场解：由高斯定理求得电场E E的分布：的分布： r2.0 ,r4q2.0r1.0 ,r4q0.1r0 0E2020 由由 求得电势分布：求得电势分布：ldEvx ( () )v(900r4qdrr4qdr005. 0v )1(5 . 0r205 . 005. 01 . 020 8)v(600r4qdrr4q)15. 0(v )2(15. 0r015. 02

13、0 )v(450r4qv2 .0r0 (4)(4)若若A,BA,B两求用导线连接，内球上的电荷转移到外球上，故两求用导线连接，内球上的电荷转移到外球上，故)v(450r4qdrr4q)2 .0(v )3(2 .0r02 .020 2-82-8有半径为有半径为R R1 1和和R R2 2(R(R1 1Ra)d(da)，设导线可视为无限长，电荷均匀设导线可视为无限长，电荷均匀分布。分布。a ad d r rd-rd-r解：由于解：由于 EEE( () )rd2E ,r2E00 故故 rd1r12E0adlnaadlnldEV00ad a 因而因而 adlnladlnlVQC00 adlnC0 单单

14、位位长长162-15 2-15 今需要一个耐压今需要一个耐压900900伏、伏、500500微微法的电容，能否用两个分微微法的电容，能否用两个分别标有别标有“200“200pFpF 500V” 500V”和和“300“300pFpF 900V” 900V”的电容来代替？的电容来代替？因而串联、并联都不行。不能用两个电容来代替因而串联、并联都不行。不能用两个电容来代替. .( ( ) )V1400900500VVV21 ( () )pF120300200300200CCCCC2121 ( () )pF500300200CCC21 解：若电容串联，则增大耐压，减小电容，解：若电容串联，则增大耐压，

15、减小电容， 若并联若并联, ,耐压不变，容量增大，耐压不变，容量增大，补充补充2.4.4 两块平行导体板，面积各为两块平行导体板，面积各为100100厘米板上带有厘米板上带有8.98.9x10 x10-7-7库仑的等量异号电荷，在两板间充满电介质，已知介质内部电场库仑的等量异号电荷，在两板间充满电介质，已知介质内部电场强度为强度为 1.4 1.4x10 x106 6伏特伏特/ /米，求米，求: :（1 1）电介质的相对电容率）电介质的相对电容率 r ;r ;（2 2）电介质的极化面电荷密度。）电介质的极化面电荷密度。解：解：由于由于 ，故，故sQEr0 18. 7EsQ0r 由于由于00sQP

16、DE 故故( () )15rmC1066. 711sQ 172-16 在一平行板电容器的极板上，带有等值异号电荷，两板间的在一平行板电容器的极板上，带有等值异号电荷，两板间的距离为距离为5.0毫米毫米,以以 r=3的电介质的电介质,介质中的电场强度为介质中的电场强度为1.0 106伏伏特特/米米,求求:(1)介质中电位移介质中电位移D;(2)极板上自由电荷极板上自由电荷面密度面密度 0 0;(3)介质介质中的极化强中的极化强度度P；(4)介质面上的极化介质面上的极化电荷电荷面电荷密度面电荷密度 ；(5)极极板上自由电荷产生的电场强板上自由电荷产生的电场强度度E E0 0 ;(6)极化电荷产生的

17、电场强极化电荷产生的电场强度度E E 。( () )( () )( () )( () )/(10 x0 .2E(6) )/(10 x0 .310 x85.810 x7 .2(5)E /10 x8 .1PnP(4) /10 x8 .1E)1(3)P /10 x7 .2D)2( /10 x7 .2ED )1(:606125002525r025025r0米米伏伏米米伏伏米米库库仑仑米米库库仑仑米米库库仑仑米米库库仑仑解解 18解：解：(1)(1)原电容为原电容为pF177dSC00 (2)(2)极板上自由电荷的电量极板上自由电荷的电量C1031. 5VCq7000 2-172-17一空气平行板电容器

18、一空气平行板电容器, ,面积面积S=0.2S=0.2米米2 2，d=0.1d=0.1厘米厘米, ,充电后断充电后断开电源开电源, ,其电位差其电位差V=3x10V=3x103 3伏，当将电介质充满极间后，电压降至伏，当将电介质充满极间后，电压降至10001000伏，计算：伏，计算：(1)(1)原电容；原电容；(2)(2)导体极板上的自由电荷的电量；导体极板上的自由电荷的电量；(3)(3)放入介质后的电容；放入介质后的电容；(4)(4)两板间原场强和充入介质后的场强；两板间原场强和充入介质后的场强；(5)(5)介质面上的极化电荷；介质面上的极化电荷；(6)(6)电介质的相对介电常数电介质的相对介

19、电常数 。r (3)(3)放入介质后的电容放入介质后的电容pF531CC0r (4)(4)两板间原场强两板间原场强充入介质后的场强充入介质后的场强( () )1500mV103dVE ( () )15mV101dVE (5)(5)介质面上的极化电荷介质面上的极化电荷( () )C1054. 3Sq E1P7r0n (6)(6)电介质的相对介电常数电介质的相对介电常数3VVCC00r 192-18 2-18 在半径为在半径为R R1 1的金属球之外有一均匀电介质层，其外半径为的金属球之外有一均匀电介质层，其外半径为R R2 2，电介质的相对电容率为电介质的相对电容率为 r r金属球带的电量为金属

20、球带的电量为Q,Q,求求(1)(1)介质层介质层内外场强分布内外场强分布;(2);(2)介质层内外电势分布介质层内外电势分布;(3);(3)金属球的电势金属球的电势;(4);(4)该该系统所储存的静电能。系统所储存的静电能。R R1 1R R2 2r Q Q1 12 23 3解：解：(1)(1)由由高斯高斯定理求得定理求得介质中介质中D D2 2=Q/4=Q/4 r r2 2又又D=D= 0 0 r rE E ，故介质层内场强，故介质层内场强2r02r4QE 在介质外场强为在介质外场强为203r4QE (2)介质内电势为介质内电势为 2rr0R3Rr22R1r14QldEldEv22介质外电势

21、为介质外电势为r4QldEv0r33 (3)金属球电势为金属球电势为 2r1r0R3RR2R1R14QldEldEv221金金(4)系统所储存的静电能为系统所储存的静电能为( () )( () ) 2r1r022R2302RR22r0eR1R18Qdrr4E21drr4E21dVW22120补充补充2.5.5 球形电容器是半径为球形电容器是半径为R R1 1的的导体球与和它同心的导体的的导体球与和它同心的导体球壳组成的，球壳的内半径为球壳组成的，球壳的内半径为R R3 3，其间充入两层均匀电介质，其间充入两层均匀电介质，分界面的半径为分界面的半径为R R2 2，它们的相对电容率分别为它们的相对

22、电容率分别为 r1r1和和 r2r2 , ,求电求电容容C C。R R1 1R R2 21r 1 12 2R R3 32r 解解: :设两板各带设两板各带Q Q和和Q Q则介质中场强为则介质中场强为2r02r4QE2 2r01r4QE1 因而介质中电势差为因而介质中电势差为( () )( () ) 231r123r321rr0RR2RR1RRRRRRRRR4QldEldEV22213221 故电容为故电容为( () )( () )231r123r321rr0RRRRRRRRR4QC2221 21补充补充2.6.6 当上题中，内球上带有电量当上题中，内球上带有电量Q Q时，求各介质表面上极化时，

23、求各介质表面上极化电荷面密度是多少？电荷面密度是多少？解解:由上题的结果由上题的结果： Rr ,Rr 0 RrR r4Q R rR r4QE31322r212r2010( () )( () )( () )( () )( () ) R4Q1 RP RrRrR r4Q1RrR r4Q1PPE1P21rr113222rr212rrr011211 处处分分布布求求得得的的由由22( () )( () )( () )( () ) R4Q1RP RrR4QnPP Rr232r2r33222rr2rr12211 处处处处补充补充2.7.7 圆柱形变容器是由半径为圆柱形变容器是由半径为R1的导体圆柱和与它同轴

24、的导的导体圆柱和与它同轴的导体圆柱面组成，柱面内半径为体圆柱面组成，柱面内半径为R2，长为长为L,其间充满相对电容率为其间充满相对电容率为 r的电介质，如图。内外导体带等量异号电荷，单位长度的电量的电介质，如图。内外导体带等量异号电荷，单位长度的电量为为 0,求：（求：（1）介质中的电位移）介质中的电位移D,电场强度电场强度E和极化强度和极化强度P的值的值；（；（2）极化电荷的面密度）极化电荷的面密度 ；（；（3）极间电势差。）极间电势差。LR1R2解解:在在R1rR2的介质区间内，的介质区间内，( ( ) )r2E: ,ED r2D:,QsdD 1r00r00 求求得得由由求求得得由由23(

25、 () )( () )( ( ) )( () )( () )( ( ) )12RRr00r00RR2r0rRrR2r1r0rRrRrr0rr0RRln2drr2EdrV3, R21 PnP , R21 PnP 2 r21P:E, 1P 2121211 求求得得由由2-19 2-19 三个相同的点电荷，放置在等边三角形各顶点上，设三角三个相同的点电荷，放置在等边三角形各顶点上，设三角形的边长为形的边长为a a，电荷的电量均为电荷的电量均为q q，计算电荷系的相互作用能。如计算电荷系的相互作用能。如果在三角形的中心放置一个电量为果在三角形的中心放置一个电量为- -q/q/ 3 3 的电荷，计算该电

26、荷在的电荷，计算该电荷在其余三个电荷产生的场中具有的电势能。其余三个电荷产生的场中具有的电势能。24解：由等边三角形可知解：由等边三角形可知3ar 故故a4q3)a4q2q21(3W020 又又a4q33r4q3V000 故故a4q3a4q33q33vqW02000 补充补充2.8.8 电量为电量为Q Q的导体球，置于均匀的无限大的电介质中，已的导体球，置于均匀的无限大的电介质中，已知电介质的相对电容率为知电介质的相对电容率为 r r , ,导体球半径为导体球半径为R R，求在介质中的能求在介质中的能量密度和静电能。量密度和静电能。解：介质中的场强为解：介质中的场强为2r0r4QE 故能量密度为故能量密度为4r022r0r32QE21 静电能为静电能为R8QdVWr02R