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1、2022年人教版高中数学必修五教案：1-2-3 解决有关测量角度的问题项目内容课题 1.2.3解决有关测量角度的问题（共 1 课时）修改与创新教学目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.二、过程与方法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的12道例题，强调知识的传授更重能力的渗透课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一
2、反三三、情感态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.教学重、难点教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.教学准备多媒体课件教学过程导入新课设置情境设问师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 生 飞机在天上飞行时，如何确定地面
3、上的目标.师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题推进新课【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01 n mile)学生看图思考师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75的方向”生 这是方位角生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再
4、根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB，就可以知道AC的方向和路程师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路下面请同学写一下解题过程.生解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理， 113.15.根据正弦定理, ,0.325 5,所以CAB19.0,75-CAB=56.0.答:此船应该沿北偏东56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位 【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/
5、时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）生甲 如右图师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,则由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得32x2-30x-27=0，即
6、x=或x=- (舍去). 所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因为sinBAC =,BAC=3813,或BAC=14147（钝角不合题意，舍去）.3813+45=8313.答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？生 同上解得BC=15,AB=21,在ABC中，由余弦定理，得0.785 7,CAB3813,3813+45=8313.巡逻艇应沿北偏东8313的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船课堂练习课本第18页练习.答案：运用余弦定理求得倾斜角约为116.23. 解三角形
7、的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在ABC中，BC=30，B=30，ACB=180-45=135,A=15.由正弦定理知,.A到BC所在直线的距离为ACsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），
8、不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险2.如图，有两条相交成60角的直线XX、YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，则AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231=7,起初，两人的距离是千米（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t,BQ=4t,当0t时
9、，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7,所以，PQ =48t2-24t+7（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,当t=时，即在第15分钟末，PQ最短答：在第15分钟末，两人的距离最短课堂小结在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；给出答案布置作业课本第22页习题1.2第9、10、11题.板书设计解决有关测量角度的问题例1例2课堂练习布置作业教学反思本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法
2022年人教版高中数学必修五教案：1-2-3 解决有关测量角度的问题
