2022年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（6.1）word学案

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1、2022年高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程（6.1）word学案学习目标1.了解曲线与方程的对应关系.2.掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)0的方法和步骤知识链接1直线yx上任一点M到两坐标轴距离相等吗？答：相等2到两坐标轴距离相等的点都在直线yx上，对吗？答：不对3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答：yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0；即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等预习导引1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某

2、曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2点与曲线如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.要点一曲线与方程的概念例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.证明如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解，则

3、x1y1k，即|x1|y1|k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点由可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程规律方法解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪演练1判断下列命题是否正确(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.解

4、(1)不正确设(x0，y0)是方程y的解，则y0，即xyr2.两边开平方取算术平方根，得r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(，r)在圆上，却不是y的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y，而应是y.(2)不正确直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解然而，坐标满足|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程，直线l的方程为x2.要点二由方程判断曲线例2下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正(1)0；(

5、2)x2y20；(3)|x|y0.解(1)中，曲线上的点不全是方程0的解，如点(1，1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x2y20的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程

6、的曲线跟踪演练2求方程(xy1)0所表示的曲线解依题意可得或x10，即xy10(x1)或x1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线xy10(x1)和直线x1.要点三曲线与方程关系的应用例3若曲线y2xy2xk0过点(a，a) (aR)，求k的取值范围解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.k2a22a2(a)2.k，k的取值范围是(，规律方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题跟踪演练3已知

7、方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，m)在此方程表示的曲线上，求m的值解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上(2)M(，m)在方程x2(y1)210表示的曲线上，()2(m1)210.解得m2或m.1“点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y2”的_条件答案必要不充分解析y20，而y24x中y可正可负，点M在曲线y24x上，但M不一定在y2上反之点M在y2上时，一定在y24x上2方程(x24)2(y24)20表示的图形是_答案四个点解析由

8、已知得即或或或3下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是_答案解析对于，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除；对于，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除；对于，曲线上第三象限的点，由于x0，y0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是_答案a1解析a0，方程ya|x|和yxa的图象大致如图，要使方程ya|x|和yxa所确定的两条曲线有两个交点，则要求ya|x|在y轴右侧的斜率大于yxa的斜率，a1.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方

9、程一、基础达标1方程y3x2 (x1)表示的曲线为_答案一条射线解析方程y3x2表示的曲线是一条直线，当x1时，它表示一条射线2方程x2xyx表示的曲线是_答案两条直线解析由x2xyx，得x(xy1)0，即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线3曲线C的方程为yx (1x5)，则下列四点中在曲线C上的是_(0,0)(，)(1,5)(4,4)答案解析(4,4)适合方程yx且满足1x5.4方程x2y21 (xy0)表示的曲线形状是_答案解析由x2y21可知方程表示的曲线为圆又xy0，图象在第二、四象限内5下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是_(填序号)yx与y(x1)2(y2)20与

10、(x1)(y2)0y与xy1ylgx2与y2lgx答案解析y与xy1表示双曲线6下列命题正确的是_(填序号)方程1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x0；到x轴距离为5的点的轨迹方程是y5；曲线2x23y22xm0通过原点的充要条件是m0.答案解析对照曲线和方程的概念，中，方程需满足y2；中，“中线AO的方程是x0 (0y3)”；而中，动点的轨迹方程为|y|5，从而只有是正确的7(1)方程|x|1表示什么曲线？(2)方程2x2y24x2y30表示什么曲线？解(1)|x|1或故方程表示两个半圆(2)方程左边配

11、方得2(x1)2(y1)20，2(x1)20，(y1)20，方程表示的图形是点A(1，1)二、能力提升8点A(1，2)在曲线x22xyay50上，则a_.答案5解析由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.9已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)0上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的直线是_(填序号)过点p且垂直于l的直线；过点p且平行于l的直线；不过点P但垂直于l的直线；不过点P但平行于l的直线答案解析点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)f(x0，y0)0，因此方程表示的直线过点P.又f(x0，y0)为非零常数，方程可化为f

12、(x, y)f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行10已知方程xy0；0；x2y20；1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是_答案解析是正确的；不正确如点(1，1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程0；不正确如点(1,1)满足方程x2y20，但它不在曲线C上；不正确如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程1.11方程(xy1)0表示什么曲线？解由(xy1)0可得或x2y240，即或x2y24，由圆x2y24的圆心到直线xy10的距离d2得直线与圆相交，所以表示直线xy10在圆x2y24上和外面的部分，x2y24表示圆心在坐标原点，半径为2的圆所以原方

13、程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和直线xy10在圆x2y24的外面的部分，如图所示12证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2y225，并判断点M1(3，4)，M2(2，2)是否在这个圆上证明设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解设(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，两边开方取算术平方根，得5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点由、可知，x2y225是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程把点M1(3，4)代入方程x2y225，左右两边相等，(3，4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(2，2)代入方程x2y225，左右两边不相等，(2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上三、探究与创新13已知曲线C的方程为x，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积解由x，得x2y24.又x0，所以方程x表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S42.所以所求图形的面积为2.