2022-2023高中数学第3章三角恒等变换3.2第1课时二倍角的三角函数学案苏教版必修4

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1、2022-2023高中数学第3章三角恒等变换3.2第1课时二倍角的三角函数学案苏教版必修4 学习目标1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用知识点二倍角公式思考1根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案sin2sin()sincoscossin2sincos；cos2cos()coscossinsincos2sin2；tan2tan().思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否只用sin或cos表示cos2？答案cos2c

2、os2sin2cos2(1cos2)2cos21；或cos2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.梳理(1)倍角公式sin22sincos.(S2)cos2cos2sin212sin22cos21.(C2)tan2.(T2)(2)二倍角公式的重要变形升幂公式1cos22cos2，1cos22sin2，1cos2cos2,1cos2sin2.1sin2sincos.()2cos4cos22sin22.()3对任意角，tan2.()提示公式中所含各角应使三角函数有意义如及，上式均无意义类型一给角求值例1求下列各式的值：(1)cos72cos36；(2)cos215；(3)；(4).解

3、(1)cos36cos72.(2)cos215(2cos2151)cos30.(3)222.(4)4.反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪训练1求下列各式的值：(1)coscoscos；(2).解(1)原式.(2)原式4.类型二给值求值例2已知tan2.(1)求tan的值；(2)求的值解(1)tan3.(2)1.反思

4、与感悟(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)一个重要结论：(sin cos)21sin 2.跟踪训练2若tan，则cos22sin2.答案解析cos22sin 2.把tan 代入，得cos22sin 2.类型三利用倍角公式化简例3化简.解方法一原式1.方法二原式1.反思与感悟(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使三角函数式中的项数尽量少尽量使分母不含有三角函数尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的方法：弦切

5、互化，异名化同名，异角化同角降幂或升幂一个重要结论：(sincos)21sin2.跟踪训练3化简：，则.答案sincos解析，sincos，sincos.1.sincos的值为答案解析原式sin.2sin4cos4.答案解析原式cos.3.答案1解析tan15tan(4530)1.4设sin2sin，则tan2的值是答案解析sin2sin，sin(2cos1)0，又，sin0,2cos10即cos，sin，tan，tan2.5化简：.解原式tan2.1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN*)2二倍角余弦公式的运用

6、在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角的常用形式：1cos22cos2；cos2；1cos22sin2；sin2.一、填空题12sin222.51.答案解析原式cos45.2已知是第三象限角，cos，则sin2.答案解析由是第三象限角，且cos，得sin ，所以sin 22sin cos2.3sin6sin42sin66sin78.答案解析原式sin6cos48cos24cos12.4若tan，则cos2.答案解析tan，则cos2cos2sin2.5如果|cos|，3，则sin的值是答案解析3，|cos|，cos0，cos.sin2，又，sin0.sin.6已知x，co

7、sx，则tan2x.答案解析由cosx，x，得sinx，所以tanx，所以tan2x.7已知sin2，则cos2.答案解析因为cos2，所以cos2.8已知为第二象限角，sincos，则cos2.答案解析由题意得(sin cos)2，1sin 2，sin 2.为第二象限角，cos0，cossin 0，|cos|sin |，cos 2cos2sin20，cos 2.9若cos，则sin2.答案解析因为sin2cos2cos21，又因为cos，所以sin221.10设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos，则tan2.答案解析cos，x29，x3.又是第二象限角，x3，cos，sin

8、 ，tan ，tan 2.11已知tanx2，则tan2.答案12若tan，则sin2coscos2的值为答案0解析由tan ，得tan 或tan 3.又，tan 3.sin ，cos .sin2cos cos2sin 2coscos 2sin 2cos cos22sin cos(2cos21)cos2sin cos2cos2220.二、解答题13已知角在第一象限且cos，求的值解cos且在第一象限，sin.cos2cos2sin2，sin22sincos，原式.三、探究与拓展14等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为答案解析设A是等腰ABC的顶角，则cosB，sinB.所以sinAsin(1802B)sin2B2sinBcosB2.15已知sin22sin2coscos21，求sin及tan的值解由题意得sin22sin2cos1cos22cos2，所以2sin2cos2sincos2cos20.因为，所以cos0，所以2sin2sin10，即(2sin1)(sin1)0.因为sin10，所以2sin10，所以sin.因为0，所以，所以tan.