复合函数求导高阶导数PPT学习教案

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1、会计学1复合函数求导高阶导数复合函数求导高阶导数一、复合函数的求导法则1、引例(1) 求 的导数 2xy = exx(e ) = e猜 已知 ，则2x2x(e) = e? 解 ： 因为 ,则2xxxe= ee2xxxxx(e) = (e ) e + e (e )解1是错误的。2xy = e是复合函数。直接套用基本初等函数求导公式求复合函数的导数是不行的。xxxx2x2x2x= ee + ee = e+ e= 2e第1页/共22页2、法则定理3.7 设 关于 可导， 关于 可导，则由 ， 复合而成的 关于 可导，且有u = f(x)xy = g(u)uu = f(x) y = g(u)y = g

2、(f(x)xxuxdydydu=y = y .udxdu dx或或 求 的导数，如：2xy = e 于是uxuxuxy = yu = (e )(2x)u2x= e2 = 2e链式法则uy = e ,u = 2x令 ， 第2页/共22页例1 求 的导数f(x)= sin5x解：设y = sinu,u = 5xxuxuxf (x)= y = yu = sinu(5x)= cosu 5= cos5x 5 = 5cos5x 例2 求函数 的导数5y = (3x+ 2)解：设u=3x+2,5y=u因为4uxy =5u ,u =3,所以 44xuxy =y u =5u 3=5(3x+2) 3则 4= 15

3、(3x + 2)第3页/共22页解：设 则 例3 求函数 的导数 2y = ln(1- x )2u=1-xy= lnu因为 ux1y =,u = -2x,u所以 xux1y = y u =(-2x)u22x=x -12-2x=1- x第4页/共22页练习 1、求函数 的导数 tanxy = e 解： 设 uy = e ,u= tanx因为 u2uxy = e ,u = sec x所以xuxy=yu=u2esec xtanx2=esec x y = lnu,u = sinxxuxuxy = yu =(lnu) (sinx)11=cosx=cosx=cotxusinxy = lnsinx练习 2、

4、求函数 的导数 解：第5页/共22页 g (x)g(x) =u2u = x+ 1221x + 12x + 1 2g(x)=x + 1例4 求 的导数 解21=2x2x + 1通过这道题你有什么体会？2x=x + 1第6页/共22页 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外向内、由表及里逐层求导。 例6 求 的导数2y = cos x解： y=(cosx)2=2cosx=2cosx (-sinx)= -sin2x例7 求3y = sin(1+ x )的导数解: 3y = cos(1+ x )3(1 + x)23= 3x cos(1+ x )(cosx) 第7页/共22页,)cos(ln

5、xey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共22页例8 求 的导数。210y = (x -1)解292dy= 10(x - 1)(x - 1)dx29= 10(x -1)2x29= 20 x(x -1)这一步可省略。21xxy = (e) - (e)21xx2-1= e () - 2xex21xx

6、2-1=e- 2xex21xxy = e- e求函数 的导数。例9第9页/共22页练习 求下列函数的导数2x2. y = e sin3x2x2xy =(e)sin3x+e (sin3x)2x2x= 2esin3x + 3ecos3x解：解223dy1=(1+ x )2xdx32232=x(1+ x )3231.1+ x第10页/共22页例10 求曲线 在点 处的切线方程。32x+ 1y = ()3x+ 21(0,)8解 曲线在点 处的切线斜率 ，且1(0,)8k = f (0)因为 33222x+ 12x+ 12(3x+ 2)- 3(2x+ 1)y = () = (u ) () = 3u3x+

7、 23x+ 2(3x+ 2)22242x+ 113(2x+ 1)= 3()=3x+ 2(3x+ 2)(3x+ 2)所以 3k = f (0)=16这样所求切线方程为 13y -=(x -0)816即 16y - 3x = 2第11页/共22页二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 第12页/共22页)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22x

8、yxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 ,记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页nx)1 ( ,3xa

9、eay 求解:特别有:解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例3. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页,sin xy 求.)(ny解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可

10、证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹(Leibniz) 公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共22页,22xexy 求.)20(y解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页 作业P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页