2022-2023学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质优化练习 新人教A版选修2-3

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1、2022-2023学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质优化练习 新人教A版选修2-31在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A第15项 B第16项C第17项 D第18项解析：第6项的二项式系数为C，又CC，所以第16项符合条件答案：B2(1x)(1x)2(1x)n的展开式中各项系数和为()A2n1 B2n1C2n11 D2n12解析：令x1，得2222n2n12.答案：D3已知n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于()A4 B5C6 D7解析：令x1，得各项系数的和为4n，又各

2、二项式系数的和为2n，故64，n6.答案：C4若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab()A45 B55C70 D80解析：(1)51CC()2C()3C()4C()51520202044129，a41，b29，ab70.故选C.答案：C5(2015年高考湖北卷)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211C210 D29解析：(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C，CC，得n10.从而有CCCCC210，又CCCCCC，所以奇数项的二项式系数和为CCC29.答案：D6若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1

3、xa0，则a1a2a3a4a5_.(用数字作答)解析：令x0，得a0(2)532.令x1，得a5a4a3a2a1a0(12)51，故a1a2a3a4a51(32)31.答案：317若n的展开式中仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为_解析：由题意知，展开式各项的系数等于各项的二项式系数第六项系数最大，即第六项为中间项，故n10.通项为Tr1C(x3)10rrCx305r.令305r0，得r6.常数项为T7C210.答案：2108若(12x)2 004a0a1xa2x2a2 004x2 004(xR)，则(a0a1)(a0a2)(a0a3)(a0a2 004)_.(用数字作答)解析：在(12x

4、)2 004a0a1xa2x2a2 004x2 004中，令x0，则a01，令x1，则a0a1a2a3a2 004(1)2 0041，故 (a0a1)(a0a2)(a0a3)(a0a2 004)2 003a0a0a1a2a3a2 0042 004.答案：2 0049已知(1x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项解析：(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4C(x)356x3，T6C(x)

5、556x5.10已知(12x)7a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a7(x1)7.求：(1) a0a1a2a7；(2)a0a2a4a6.解析：(1)令x2，得(122)737a0a1a2a7，a0a1a2a737.(2)令x0，得a0a1a2a3a6a71.又由(1)得，a0a1a2a737，两式相加，可得2(a0a2a4a6)137.a0a2a4a6.B组能力提升1已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A1 B1C2 D2解析：由条件知2n32即n5，在通项公式Tr1C()5rrCarx中，令155r0得r3，Ca380.解得a2.答案：C2

6、若(12x)2 015a0a1xa2 015x2 015(xR)，则的值为()A2B0C1 D2解析：(12x)2 015a0a1xa2 015x2 015，令x，则2 015a00，其中a01，所以1.答案：C3在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1，2)f(0,3)()A45B60C120 D210解析：在(1x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)CC.从而f(3,0)C20，f(2,1)CC60，f(1，2)CC36，f(0,3)C4，所以原式2060364120，故选C.答案

7、：C4如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14个与第15个数的比为23.第0行 1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 14641第5行 15101051解析：由题可设第n行的第14个与第15个数的比为23，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为23，即CC23，所以23，n34.答案：345已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项解析：由题意知，CCC121，即CCC121，1n121，即n2n2400，解得n15或16(舍)在(13x)15的展开式中，二项式系数最大的项是第八、九两项，T8C(3x)7C37x7，T9C(3x)8C38x8.6应用二项式定理证明2n1n2n2(nN*)证明：当n1时，2114,12124，所以2n1n2n2；当n2时，2n12(11)n2(1CCC)2(1CC)21nn2n2.所以2n1n2n2(nN*)成立