高中数学 4.2用数学归纳法证明不等式同步检测试题 新人教A版选修4-5

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1、高中数学 4.2用数学归纳法证明不等式同步检测试题 新人教A版选修4-51用数学归纳法证明“1n(nN*，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是() A2k1 B2k1 C2k D2k1答案：C2当n1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想()An1时，2nn2 Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2 Dn5时，2nn2答案：D3用数学归纳法证明2nnn2(nN，n5)，则应第一步验证n_.答案：54用数学归纳法证明，假设nk时不等式成立，当nk1时，应推证的目标不等式是_答案：5关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是()AnN* Bn4Cn4 Dn

2、1或n4答案：D6用数学归纳法证明：12(其中nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即12，那么nk1时，122.所以当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任何nN*都成立7设数列an满足an1anan1，nN*.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式(2)当a13时，证明对所有n1，有：ann2；.解析：(1)由a12，得a23，a34，a45，猜想ann1.(2)当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即akk2，当nk1时，ak1ak

3、ak1ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3.即ak1(k1)2，因此不等式成立ann2对于nN*都成立由an1anan1及(1)知：当k2时，aka(k1)ak11ak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11，ak12(ak11)即2.ak12k1(a11)，(k2)，.8证明：1(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边即命题成立(2)假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即：1.则当nk1时，要证明1，只要证.0，成立，即1成立nk1时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切nN*命题都成立9(xx惠州一调)等差数列an中，a11，前n项和为Sn，等比数

4、列bn各项均为正数，b12，且s2b27，S4b32.(1)求an与bn；(2)设cn，Tnc1c2c3cn，求证：Tn(nN*)(1)解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题知：s2b27，s4b32，d2q5,3dq210，解得q2或q8(舍去)，d1；an1(n1)n，bn2n.(2)证明：cn，cn.Tn.下面用数学归纳法证明Tn对一切正整数成立(1)当n1时，T1，命题成立(2)假设当nk时命题成立，Tk，则当nk1时，Tk1Tk，这就是说当nk1时命题成立，综上所述，原命题成立10已知数列bn是等差数列，且b11，b1b2b3b10100.(1)求数列bn的通项

5、bn；(2)设数列an的通项为anlg，设Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lg bn1的大小，并证明你的结论分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明解析：(1)由b11，S10100得d2，所以bn2n1.(2)由bn2n1得：Snlg(11)lglglg，lg bn1lg，要比较Sn与lg bn1的大小可先比较(11)与的大小当n1时，(11)，当n2时，(11)，猜想(11)(*)以下用数学归纳法进行证明：n1时成立假设当nk(k1，kN*)时成立，即(11)，当nk1时，(11)(22k)，2()20，(22k)，(11)，当n

6、k1时也成立由可知(*)式对任何正整数都成立Snlg bn1.11(1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)的最小值为f(1)，其中r为有理数，且0r1，证明命题；设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1b21，则ab11ab22a1b1a2b2；(2)请将(1)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题解析：(1)由已知得：当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1

7、a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(2)(1)中命题的推广形式为：设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数，若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，b11，有a1a1，成立(2)假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，b

8、k1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k11bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得a1a2aka1a2ak，从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1，又因(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由(1)(2)可知，对一切正整数n，所推广的命题成立说明：(2)中如果推广形式中指出式对n2成立，则后续证明中不需讨论n1的情

9、况12函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标证明：2xnxn13.解析：(1)因为f(4)42835，故点P(4,5)在函数f(x)的图像上，故由所给出的两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)，可知，直线PQn斜率一定存在，故有直线PQn的直线方程为y5(x4)，令y0，可求得5(x4)x4x.所以xn1.下面用数学归纳法证明2xn3.当n1时，x12，满足2x13，假设nk时，2xk3成立，则当nk1时，xk14，由2xk34xk251243即2xk13也成立，综上可知2xn3对任意正整数恒成立下面

10、证明xnxn1，由xn1xnxn.由2xn31xn1200即xnxn1，综上可知2xnxn13恒成立1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的2前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些但仔细研究，数学归纳法关键是由nk到nk1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当nk时成立，再证当nk1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法