（浙江专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第4节 数列求和学案 理

《（浙江专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第4节 数列求和学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第4节 数列求和学案 理（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第4节数列求和最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.了解非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法知 识 梳 理求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程

2、的推广(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用结论与微点提醒1一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)2462nn2n.2常见的裂项公式(1).(2).(3).诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，()()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()

3、(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解答案(1)(2)(3)(4)2(必修5P38A改编)等差数列an中，已知公差d，且a1a3a9950，则a2a4a100()A50 B75 C100 D125解析a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d505075.答案B3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析Sn2n12n2.答案C4(必修5P38T8改编)一个球从100 m高处自由

4、落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)解析第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)答案A5(必修5P61A4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案6(2018丽水测试)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列an中，a11，a21，an2an1an

5、(nN*)则a7_；若a2 018m，则数列an的前2 016项和是_(用m表示)解析a11，a21，an2an1an(nN*)，a3112，同理可得：a43，a55，a68，则a713.a11，a21，anan1an2(nN*)，a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，a2 015a2 016a2 017a2 016a2 017a2 018.以上累加得，a12a22a32a42a2 016a2 017a3a4a2 018，a1a2a3a4a2 016a2 018a2m1.答案13m1考点一分组转化法求和【例1】 (2016天津卷)已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.

6、(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和解(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.规律方法(1)若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和(2)若数列cn

7、的通项公式为cn其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求an的前n项和【训练1】 (1)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1(2)(2017杭州七校联考)数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于()A1 008 B2 016 C504 D0解析(1)该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.(2)a1cos 0，a22 cos 2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为2，4，6，8，2 014，2 01

8、6.故S2 0160(24)(68)(2 0142 016)1 008.答案(1)A(2)A考点二裂项相消法求和【例2】 Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.规律方法(1

9、)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等【训练2】 (2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，得(2n1)an2，所以an，又n1时，a12适合上式，从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn11.考点三错位相减法求和【例3】 已知数列an的前n项和Sn3n28

10、n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d，由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn.得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和(2)在写

11、出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【训练3】 (2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn

12、5.基础巩固题组一、选择题1(2017杭州调研)数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9 B8 C17 D16解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案A2数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200 C400 D400解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案B3(2018湖州调研)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A9 B15 C18 D30解析an

13、1an2，a15，数列an是公差为2的等差数列an52(n1)2n7.数列an的前n项和Snn26n.令an2n70，解得n.n3时，|an|an；n4时，|an|an.则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6S62S362662(3263)18.答案C4已知数列an满足a11，a23，an1an1an(n2)，则数列an的前40项和S40等于()A20 B40 C60 D80解析由an1(n2)，a11，a23，可得a33，a41，a5，a6，a71，a83，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为，又40664，所以S406133160.答案C5(2018丽水测试)已知数列an

14、满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 018()A22 0181 B321 0093C321 0091 D321 0092解析a11，a22，又2，2.a1，a3，a5，成等比数列；a2，a4，a6，成等比数列，S2 018a1a2a3a4a5a6a2 017a2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.答案B6.的值为()A. B.C. D.解析，.答案C二、填空题7(2017嘉兴一中检测)有穷数列1，12，124，1242n1所有项的和为_解析由题意知所求数列的通项为2n1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为n2n12n.答案2n12

15、n8数列an满足anan1(nN*)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S21_解析由anan1an1an2，an2an，则a1a3a5a21，a2a4a6a20，S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.答案69(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_解析设等差数列an首项为a1，公差为d，则由得Sn，2，22.答案10(2018金华模拟)在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则an_，S100_解析当n为奇数时，an2an0；当n为偶数时，an2an2，an的一个通项公式为anS100S奇S偶5012 600.答

16、案2 600三、解答题11(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由得bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.ana1(n1)d1(n1)22n1(n1，2，3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.12已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN*)(1)求数列an的通项公式；

17、(2)设bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.解(1)当n1时，a1S1，由S1a11，得a1，当n2时，Sn1an，Sn11an1，则SnSn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故an2(nN*)(2)因为1Snan.所以bnlog(1Sn1)logn1，因为，所以Tn.能力提升题组13已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，S2 016中，有理数项的项数为()A42 B43 C44 D45解析an.所以Sn11，因此S3，S8，S15为有理项，又下标3，8，15，的通项公式为n

18、21(n2)，所以n212 016，且n2，所以2n44，所以有理项的项数为43.答案B14在数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A76 B78 C80 D82解析因为an1(1)nan2n1，所以a2a11，a3a23，a4a35，a5a47，a6a59，a7a611，a11a1019，a12a1121，所以a1a32，a4a28，a12a1040，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12a1a2a3a12(a1a3)(a5a7)(a9a11)(a2

19、a4)(a6a8)(a10a12)328244078.答案B15(2017台州调研)已知数列an满足：a12，an1，则a1a2a3a15_；设bn(1)nan，数列bn前n项的和为Sn，则S2 016_解析a12，an1，a23，a3，a4，a52.a4n12，a4n23，a4n3，a4n.a4n1a4n2a4n3a4n2(3)1.a1a2a3a15a13a14a15a1a2a32(3)3.bn(1)nan，b4n12，b4n23，b4n3，b4n.b4n1b4n2b4n3b4n23.S2 0162 100.答案32 10016(2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an1

20、2Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn17(2017山东卷)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1

21、)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q，由题意得所以3q25q20，由已知q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.15