2022-2023学年高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介优化练习 新人教A版选修4-4

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1、2022-2023学年高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介优化练习 新人教A版选修4-41点A的柱坐标是，则它的直角坐标是()A(，1,7) B(，1，7)C(2，1,7) D(2，1，7)解析：2，z7，xcos ，ysin 1，z7，点A的直角坐标是(，1,7)答案：A2若点M的直角坐标为(2,2,2)，则它的球坐标为()A. B.C. D.解析：由坐标变换公式得，r4，由rcos z2得cos ，所以，又tan 1，点M在第卦限，所以，所以M的球坐标为.答案：B3若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为()A1B2C.D.解析：由于点P的柱坐标为(，z)，故点P在平面xO

2、y内的射影Q到直线Oy的距离为cos，可得P到直线Oy的距离为.答案：D4在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为()A. B.C. D.解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(1，1,1)，它的柱坐标为.答案：C5已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|()A.B.C. D4解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，则得故P1(2，2，0)，设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，故得故P2(，1,1)则|P1P2|.答案：A6已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|_.解析：(，z)，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2y2222，|OM| 3

3、.答案：37已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan_，tan _.解析：如图所示，tan ，tan 2.答案：28已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|_，|MN|_.解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影因为MN直线Oy，MP平面xOy，所以PN直线Oy.所以|OP|2，|PN|1，所以|OM|3.在RtMNP中，MPN90，所以|MN|.答案：39已知点P的球坐标为，求它的直角坐标解析：由变换公式得：xrsin cos 4sincos2.yrsin sin 4sinsin2.zrcos

4、 4cos 2.它的直角坐标为(2,2，2)10已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标解析：M(，1)的直角坐标为M关于原点O的对称点的直角坐标为(1，1，1)(1，1，1)的柱坐标为：2(1)2(1)22，.tan 1，又x0，y0.其柱坐标为M关于原点O对称点的柱坐标为.B组能力提升1球坐标系中，满足，r0，)，0，的动点P(r，)的轨迹为()A点 B直线C半平面 D半球面解析：由于在球坐标系中，r0，)，0，故射线OQ平分xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，)的轨迹为二面角xOPy的平分面，这是半平面，如图答案：C2已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐

5、标系中的点的坐标分别为()AP(5,1,1)，BBP(1,1,5)，BCP，B(1,1,5)DP(1, 1,5)，B解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则xcos1，ysin1，z5.设点B的直角坐标为(x，y，z)，则xsincos，ysinsin，zcos.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.答案：B3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1，则此长方体外接球的体积为_解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R，则有(2R)216253677，所以R，V球R3.答案：4已知球坐标系中，M，N，则|M

6、N|_.解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由得M的直角坐标为(1，2)，同理N的直角坐标为(3，2)，|MN|2.答案：25.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及 结合题图得，由cos 得tan .点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，1)，球坐标为，其中tan ，0.6以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的方向为z轴正方向，本初子午线(0经线)所在平面为坐标平面xOz，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，已知地球半径为R，点A的球坐标为，点B的球坐标为，求：(1)A，B两地之间的距离；(2)A，B两地之间的球面距离解析：(1)由于球坐标(r，)的直角坐标为(x，y，z)(rsin cos ，rsin sin ，rcos )，所以A，B点的直角坐标分别为，所以A，B两地之间的距离为|AB|R.(2)由上述可知，在OAB中，|OA|OB|AB|R，得AOB，所以A，B两地之间的球面距离为R.