《2022年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.3抛物线讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.3抛物线讲义（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2022年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.3抛物线讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx1.抛物线的定义和标准方程1.抛物线定义的应用2.求抛物线的标准方程A填空题解答题2.抛物线的性质抛物线的几何性质及简单运用A填空题解答题分析解读抛物线在近年高考中没有单独考查,是命题冷点.若高考出题考查,试题难度也会比较低,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程1.(xx四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是.答案(1,0)2.(xx陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一
2、个焦点,则p=.答案23.(xx湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+教师用书专用(4)4.(xx广东理,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=且c0,解得c=1.所以抛物线C的方程为
3、x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(
4、y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为.考点二抛物线的性质1.(xx课标全国文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为.答案22.(xx课标全国理
5、,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案63.(xx浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案94.(xx课标改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.答案5.(xx江西理,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案66.(xx北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线
6、l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐
7、标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.7.(xx课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分)又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N为OH的中点,即=2.(6分)(2)直线MH
8、与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)三年模拟A组xx模拟基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(xx江苏泰州姜堰模拟,7)抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F的距离相等,则点F的坐标为.答案(1,0)2.(苏教选21,二,4,10,变式)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程
9、为.答案y2=4x3.(xx江苏扬州中学周测,4)抛物线y=2x2的准线方程为.答案y=-考点二抛物线的性质4.(xx江苏海安高三阶段测试)抛物线y2=x的准线的方程为.答案x=-5.(xx江苏扬州中学月考)抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为.答案6.(xx江苏淮海中学调研)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若PF=4,则POF的面积为.答案27.(xx江苏泰州三校期中联考)已知点A(-2,1),y2=-4x的焦点是F,P是y2=-4x上的点,为使PA+PF取得最小值,P点的坐标是.答案8.(苏教选21,二,4,12,变式)已知抛物线y2=2px(p
10、0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于.答案-49.(xx江苏姜堰中学高三期中)已知抛物线C:x2=4y,直线l过点(2,1).(1)若直线l与抛物线C只有一个公共点,求直线l的方程;(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,且抛物线C在A,B两点处的切线的交点在抛物线的准线上,求直线l的方程.解析(1)(2,1)满足x2=4y,点(2,1)在抛物线上,若l与抛物线C只有一个公共点,则l与对称轴平行或与抛物线相切,当ly轴时,方程为x=2.当l与抛物线相切时,由y=,得y=,抛物线在(2,1)处的切线斜率k=1,切线方程为y=x-1.直线l的方程为
11、x=2或y=x-1.(2)易知点(2,1)为直线l与抛物线C的交点,设A(2,1),则抛物线在A处的切线为y=x-1,与准线y=-1的交点为(0,-1),则过点B的切线也与准线交于点(0,-1),设B,m2,则抛物线在点B处的切线方程为y-=(x-m).易知点(0,-1)在此切线上,-1-=(0-m),解得m=-2,B(-2,1),直线l的方程为y=1.B组xx模拟提升题组(满分:35分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(xx江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,ABC的三个顶点都在抛物线上,并且ABC的重心是抛物线的焦点,BC边所在的直线方程为4
12、x+y-20=0,则抛物线的方程为.答案y2=16x二、解答题(共30分)2.(xx江苏连云港白塔中学期中)已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与该抛物线交于A,B两点,且直线l与x轴交于点C.(1)求证:MA,MC,MB成等比数列;(2)设=,=,求证:+为定值.证明(1)易知,直线l的斜率存在,且不为0.设直线l的方程为y=kx+2(k0),则C.由得k2x2+(4k-4)x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2= ,MAMB=|x1-0|x2-0|=,而MC2=,MC2=MAMB0,即MA,MC,MB成等比数列.(2)由=,=得(x1,y1-
13、2)=,(x2,y2-2)=,=,=,+=.将(1)中代入得+=-1,故+为定值.3.(xx江苏扬州期末,18)某隧道设计为双向四车道,车道总宽20米,要求通行车辆限高4.5米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示,建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,使得隧道口截面面积最小?解析(1)设抛物线的方程为:y=-ax2(a0),因为抛物线过点,-=-a100,所以a=,y=-x2.令y=-6,解得:x=20,所以隧道设计的拱
14、宽l是40米.(2)因为抛物线最大拱高为h米,所以抛物线过点,代入抛物线方程得:a=,所以y=-x2.令y=-h,则-x2=-h,解得:x2=,则=,h=,h6,6,即20l40,S=lh=l=(20l40),S=,当20l20时,S0;当200,即S在(20,20)上单调递减,在(20,40上单调递增,S在l=20时取得最小值,此时l=20,h=.答:当拱高为米,拱宽为20米时,隧道口截面面积最小.C组xx模拟方法题组方法1求抛物线方程的方法1.(xx福建厦门质检)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方
15、程为.答案y2=3x2.如图,已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,则抛物线的方程为.答案y2=x方法2抛物线定义的理解3.(xx南京、盐城二模,8)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为.答案64.(xx江苏东海中学期中)已知抛物线y2=8x的焦点为F,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=AF,则AFK的面积为.答案8方法3抛物线的最值问题5.如图,已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求
16、抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求MN的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),因为焦点为F(0,1),所以=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.所以MN=|xM-xN|=8=,令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,MN=22.当t0时,MN=2.综上所述,当t=-,即k=-时,MN取得最小值,最小值是.
2022年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.3抛物线讲义
