gct数学真题(20032011年真题与答案解析)

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1、GCT数学2003-2011年真题与答案解析 2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1（ ）。A10B11C12D132记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ）A2B3C4D531 000 m的大道两侧从起点开始每隔10 m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。A树200棵，花200盆B树202棵，花200盆C树202棵，花202盆D树200棵，花202盆4已知，则（ ）。AabcBbcaCcabDcba5某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。A4月份与2月份产值

2、相等B4月份比2月份产值增加C4月份比2月份产值减少D4月份比2月份产值减少6函数y=ax2+bx+c（a0）在0，+）上单调增的充分必要条件是（ ）。Aa0且b0Ba0且b0Da0且b07函数（a0）与的图像关于（ ）。A直线x-a=0对称B直线x+a=0对称Cx轴对称Dy轴对称8已知实数x和y满足条件= -1和=1，则x101+y101的值是（ ）。A-1B0C1D29一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。A0.271B0.243C0.1D0.08110A、B、C、D、E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队

3、已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过（ ）。A1场B2场C3场D4场11过点P（0，2）作圆x2+y2=1的切线PA、PB，A、B是两个切点，则AB所在直线的方程为（ ）。ABCD12如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。ABCD13已知两平行平面a，b之间的距离为d（d0），l是平面a内的一条直线，则在平面b内与直线l平行且距离为2d的直线的有（ ）。A0条B1条C2条D4条14正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ ）。ApBCD15设点（x0，y0）在圆C：的内部，则直线x0 x + y0 y=1和

4、圆C（ ）。A不相交B有一个交点C有两个交点，且两交点间的距离小于2D有两个交点，且两交点间的距离等于216设，则的极值点的个数是（ ）。A0B1C2D317如果函数在x0处可导，D=Dx）-，则极限（ ）。A等于f （x0）B等于1C等于0D不存在18甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。A甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样D甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样19方程的实数根的个数是（ ）。A1个B2个C3个D4个20设，则（ ）。AI=0BI0C0I1DI=021行列式展开式中x4的系数是（ ）。A2B-2C

5、1D-122设，则必有（ ）。AAB=BABAB=BTATC= -8D=023设A为4阶非零方阵，其伴随矩阵A*的秩r（A*）=0，则秩r（A）等于（ ）。A1或2B1或3C2或3D3或424设A为mn的非零矩阵，方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ ）。AA的列向量线性无关BA的列向量线性相关CA的行向量线性无关DA的行向量线性相关25已知三阶矩阵M的特征值为l1= -1，l2=0，l3=1，它们所对应的特征向量为a1=（1，0，0）T，a2=（0，2，a3=（0，0，则矩阵M是（ ）。ABCD2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】B【解析】等差数列求和公式

6、分子=分母=-5+11=6原式=2【答案】C【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=，故与M最接近的整数为4。3【答案】B【解析】，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。4【答案】D【解析】，由得故abc5【答案】D【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月份产量减少。6【答案】C【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在0，+）上是单调增函数的充分必要条件必须满足，故选C。7【答案】D【解析】令f（x）=x，有得图像如下：所以图像关于y轴对称。故选D。8【答案】A【解析】由已知可得：所以x1

7、01+y101=-19【答案】A【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。10【答案】B 【解析】由于A队赛4场，故A必须与其他四队都赛；D队已赛1场，D队只与A队赛；B队已赛3场，B队与A、C、E分别赛；C队已赛2场，C队与A、B分别赛。所以E队已赛2场11【答案】D【解析】如右图所示，=1，=2，AOP=60，=。所以AB所在直线的方程为y=12【答案】C【解析】因E、F分别为AB、BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故SAMD=SDMN=SDNC（等底等高），SAMD+SDNC=SBEF+S梯形MNEF= S阴影=

8、13【答案】C【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。14【答案】B【解析】设正圆锥的底面半径以R，母线长为L，则圆锥侧面积=pRL圆锥全面积=pR2+pRL因此故所求圆心角=，选B。15【答案】A【解析】令在圆内，可代为x=2，故选A。16【答案】B【解析】由f（x）=f (x)=x3- x2= x2(x-1)，令f (x)=0得x=0，x=1。显然x=1是f (x)的极值点；在x=0的邻域内f (x)0）与x轴所构成的区域面积分为AA与AB两部分，则（ ）。ABCD的大小关系与b的数值有关21设，则行列式（ ）。A8MB2MC-2MD-8M22若向量a，b，l 线性无关，而向量a+2b，

9、2b+kl，3l+a 线性相关，则k=（ ）。A3B2C-2D-323设，则矩阵中，第3行第2列的元素是（ ）。ABC1D24设矩阵，三阶矩阵，且满足AB=0，则（ ）。ABCD25下列矩阵中，与对角矩阵相似的矩阵是（ ）。ABCD2004年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】D【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 40+1=91每隔60 m挖坑的数量为：3 600 60+1=61由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 120+1=31因此需要重新挖坑的数量为：61-31=30填坑的数量为：91-31=60故选D。2【答案】C【解析】

10、设该校有女生宿舍x间，则有3【答案】C【解析】价格变化前成品价格为元价格变化时成品价格可表示为元浮动前后成品价格保持不变解得5x=4y，得x:y=4:54【答案】B【解析】Sn=1-2+3-4+（-1）n-1n=S2 004= -1 002S2 005=因此5【答案】D【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h，有（70+80）t=（80+50）（t+2）t=13h，因此甲、乙两站距离为（70+80）13=1 950 km6【答案】B【解析】2a2+2 008a+3=04a2+2 0082a+6=03b2+2 008b+2=09b2+2 0083b+6=0式-得（2

11、a-3b）（2a+3b）+2 008（2a-3b）=0（2a-3b）（2a+3b+2 008）=02a-3b=0或2a+3b+2 008=07【答案】A【解析】由图可知ba0，因此a+b0，b-a0，a-c0故有|a+b|-|b-a|+|a-c|+c= -a-b+b-a-（a-c）+c= -3a+2c8【答案】A【解析】b+ca+c，bac9【答案】D【解析】依题意可知： 10【答案】C【解析】3个空格相连的放法有=6种，又总的放法有种（由于是相同的球，故不是），故3个空格相连的概率为。11【答案】C【解析】AF=FE=ED=CBA=FEA，EFB=EDA，DCE=DEC，B=CDB由三角形性

12、质知：EFB=2A EFB+A=CEDCED=3A又因C=，知A=12【答案】C【解析】设AB=a，BC=b，则S=ab由ADE，AHB，EFC和BGC都是等腰直角三角形，知|AH|= 又因四边形EFGH是正方形，故，即有a =A正方形EFGH=13【答案】B 【解析】如右图可知AABC=AABD=AADC=AABC=AABD+AADC在ACD和ABD中由余弦定理得：因D是BC的中线，故由式2+2整理得34y2-30y2cos（a+b）=225sin2x +64（a+b =x）（15cos x-y2）2=（17-y2）22y2=17-15cos x由x(0,p)，知1y216即1y414【答案

13、】A【解析】因为直线x+y=0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P1（0，-1）关于直线x= -y的对称点Q（1，0），点P2（，0）关于直线x+y=0的对称点R（0，），Q（1，0），R（0，）所在直线方程为，即。15【答案】B【解析】最长的弦长是直径，OP垂直于所求直线时，弦长为最短。最短的弦长为，最长的弦长。因此18l30，l可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B。16【答案】A【解析】由图知当0x时，2g（x）6（0x）故u（1）=17【答案】D【解析】18【答案】B【解析】x0x+33lnln3lnln3-x当-3x

14、3+x，ln3ln，ln3-xln，故选B19【答案】C【解析】因=sinx+xcosx，而故20【答案】B【解析】如图所示：有交点得x=0或AB=A1+A 2A1=（）b3=（）b3所以所以，故选B。21【答案】D【解析】故选D。22【答案】D【解析】设x1（a+2b）+x2（2b+kl）+x3（3l+a）= 0（x1+x3）a +（2x1+2x2）b +（kx2+3x3）l=0由a，b，l线性无关，知23【答案】B由C=AB-1所以C-1=(AB-1) -1=BA-1又，则故选B。24【答案】A【解析】设因AB=0，B0，故有故可取故选A。25【答案】C【解析】根据相关概念可知C为正确答案

15、。2005年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1的值是（ ）。ABCD2设p为正数，则=（ ）。ABCD3在四边形中对角线AC，BD垂直相交于点，若，则四边形的面积为（ ）。A1 080B840C720D5404某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）。A18B35C40D605已知，则=（ ）。A50B75C100D10562005年，我国甲省人口是全国人口的，其生产总值占国内生产总值的;乙省人口是全国人口的，其生产总值占国内生产总值的，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之

16、比是（ ）。ABCD7复数的模=（ ）。A4BC2D8三个不相同的非0实数成等差数列，又恰成等比数列，则等于（ ）。A4B2C-4D-29任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。A0.1B0.2C0.3D0.410一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单位:dm），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。A6B8C12D1611在中，过C点以C到AB的距离为直径作圆，该圆与AB有公共点，且交AC于，交BC于N，则MN等于（ ）。ABCD12已知，则的值是（ ）。ABCD13已知P为反比例函数图像上的一点，过P分别作两坐标轴的平

17、行线，交Ox轴于M，交Oy轴于N，则MPN的面积为（ ）。AB1CD14设一个圆的圆心为P（6，m），该圆与坐标轴交于两点，则到坐标原点的距离是（ ）。AB8C10D15已知，若圆的圆心在第四象限，则方程的图形是（ ）。A双曲线B椭圆C抛物线D直线16设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）。ABCD17函数在上有（ ）。A1条竖直渐近线，1条水平渐近线B1条竖直渐近线，2条水平渐近线C2条竖直渐近线，1条水平渐近线D2条竖直渐近线，2条水平渐近线18设在点处可导，且则=（ ）。A0B1C2D319若的二阶导数连续，且，则对任意常数a，必有=（ ）。AB1C0D20设的一个原函数，则不定积分=

18、（ ）。ABCD21设连续函数在内严格单调递增，且，若的反函数，则=（ ）。ABCD22设向量，则向量组的一个极大线性无关组是（ ）。A BCD23设，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）。ABCD24已知X为n维单位列向量，为X的转置，为单位矩阵，若，则G2等于（ ）。AGBC1D25设是方程的三个根，则行列式的值等于（ ）。A1B0C-1D-22005年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】A【解析】细心观察一下此题很有规律。原式=故A为正确答案。2【答案】C 【解析】此题看起来很复杂，有未知数存在，但如果我们应用韦达定理问题就简单多了，因为p为正数，故两根之和为

19、负数，故C为正确答案。3【答案】D 【解析】因为所以故D为正确答案。4【答案】C 【解析】根据题意，设需天完成。则有：故选C。5【答案】B 【解析】由已知将、式的两边分别平方后相加即得。所以故选B。6【答案】D 【解析】此题可设全国人口为，国内生产总值为。则由题意，有甲省人均生产总值为，乙省为故二者的比值为。解此类题就是把未知的假设出来，问题一下就可以简化易解了。从而得出答案为D。7【答案】C 【解析】由复数的性质，。故故选C。8【答案】A 【解析】此题可以按等差或按等比将三个数设出来，再根据性质求解方程组显然麻烦。这里我们直接利用等差中项：等比中项 联立可得：将等式两边同时除，即显然得（舍去

20、）故选A。9【答案】B 【解析】显然这些数都是由数字09组合成的。其中平方数的末位数为4的只有数字2和8。故其概率为故选B。10【答案】B 【解析】此题实质就是比较甲、乙两容器的体积。故的8倍，即至少注入8次，答案为B。11【答案】B 【解析】首先按题意作图，显然ABC为直角三角形，其中，而为圆上两点，故MCN为直角三角形，由圆以几何性质可知，即为此圆的直径，即距离，即为B答案。12【答案】A【解析】此题要是按展开计算非常麻烦，我们这里就以特殊代一般，这是解决选择题的最好办法。设，则。 所以故选A。13【答案】C 【解析】如图所示，可设则SPMN=故选C。14【答案】C 【解析】如图所示，由垂

21、径定理可知。故所以，。故选C。15【答案】B【解析】由变形得又，圆心在第四象限。所以。故为椭圆，选B。16【答案】D 【解析】由已知可得故选D。17【答案】D 【解析】当故为两条竖直渐近线。故为2条水平渐近线。故选D。18【答案】C【解析】因为所以 即 由导数定义，在0处可导，即故选C。19【答案】A 【解析】=故选A。20【答案】C【解析】由题意=又将式代入原式故选C。21【答案】B【解析】此题如利用积分反函数将原式变形计算会很复杂。f（x）这里我们用数形结合，由题意上单增，。故可设图象如图所示。则=因为为的反函数，故原式=由此式可以看出原式实质上为两个图形与轴围成图形的面积，即为边长为的正

22、方形的面积即。故选B。22【答案】D【解析】设显然，极大线性无关组都可以，所以选D。23【答案】D【解析】由2为A的特征值。将代入即可求出答案为D。24【答案】A【解析】因为X为n维单位列向量，所以=G故选A。25【答案】B【解析】的三个根显然很难解。a，b，c是三次方程x3-2x+4=0的三个根，则(x-a)(x-b)(x-c)=0与方程x3-2x+4=0等价，即x3- (a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=0与x3-2x+4=0等价。对应系数相等得：abc=-4，a+b+c=0。原行列式=3abc-(a3+b3+c3)=3abc-(2a-4+2b-4+2c-4)=12+3ab

23、c-2(a+b+c)=12+3(-4) -20=0，故选B。2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1（ ）。ABCD2100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。A25B15C5D33如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2。A10B12.5C20D254方程x2-2 006=2 007所有实数根的和等于（ ）。A2 006B4C0D-2 0065已知长方形的

24、长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。A8B10C12D146是（ ）。AiBiC1D17一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。AcmBcmCcmDcm8P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则的最大值与最小值依次是（ ）。A，B，C，D，9一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均

25、匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升。A2.55B3C2.45D410如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于，那么光线与地平面所成的角度是（ ）。A15B30C45D6011某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。A8B9C10D1212在平面上给定线段AB=2，在上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线

26、段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ ）上。A抛物线B椭圆C双曲线D直线13桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。ABCD14设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。A(1+n) B(1+n)nC(1+n)2nD(1+n)3n15设二次函数f (x)=ax2+bx+c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则=（ ）。A3B2C-2D-316设f (x)0，且导数存在，（ ）。A0BClnf (a) D17（ ）。A2个极值点，3

27、个拐点B2个极值点，2个拐点C2个极值点，1个拐点D3个极值点，3个拐点18设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时，=（ ）。ABCD19（ ）。A0B1C2D3 20如图所示，曲线P=表示某工厂十年间的产值变化情况。设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。A前两年越来越慢，后五年越来越快B前两年越来越快，后五年越来越慢C前两年越来越快，后五年越来越快D前两年越来越慢，后五年越来越慢21（ ）。AB1CD 22的第一行的行向量是（ ）。ABCD23（ ）。A-2B-1C2D324（ ）。ABCD25（ ）。ABCD2006年GCT入学资格考试数学基础

28、能力试题参考答案与解析1【答案】C【解析】原式=+=，故应选C。2【答案】D【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有人，既有电脑又有手机的共有人。则由已知得：，解得：=3，=73。故正确答案为D。3【答案】B【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。因为AB/MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半圆相切，则这个距离为。得到。阴影部分面积=cm2。故应选B。4【答案】C【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组由得：（舍去），=2 007；由得：=1（舍去），。实数根之和=2 007+（-2 007）=0，故应选C。方法二，函数为偶函数，则方程的根关于

29、轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。5【答案】B【解析】如图所示。根据图形对称性得：因为所以。在ABE中，=，即=解方程得：AE=3。阴影BED的面积ABED= AABD- AABE。故应选B。6【答案】A【解析】因为，所以。复数，故其共轭复数，应选A。7【答案】D【解析】设取出球后容器中水面的高度为，则水的体积。取出球前。因为取球前后水的体积不变，即，得：。故应选D。8【答案】A【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增大而增大。因此从右图中可以看出：当P点与A点重合时，OP斜率最大，即；当P点与C点重合时，OP斜率最小，即。故应选A。9【答案】B【解析】

30、量杯中剩余的酒精量为1049%=10，整理得。解方各得或（舍去），故应选B。10【答案】B【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OCAB交半圆于点C，则OC=。同理在椭圆面内作ODAB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即ODC为光线与地平面所成的角。因为ABOC，ABOD，所以COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则COD=90。半圆面积为，半椭圆的面积为，因为，则。在RtCOD中，ODC=30，故应选B。11【答案】A【解析】当主动轴的齿数为48时，变速比为共4种。当主动轴的齿数为36时，变速比为，共4种。当主动轴的齿数为24时

31、，变速比为，共4种。其中变速比相同的有四对，故变速比的种数为4+4+4-4=8，应选A。12【答案】C【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以。又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则是一个正整数且它的值小于2，所以，=2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。13【答案】C【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有种，3本中每样各一本的取法共有种，则所求概率为。故应选C。14【答案】A【解析】设这个数组成的等比数列的公比为，数列记为，则。其中，故。这个数均为正数，则。所插入的n个正数之积即，又，所以。故应选A。15【答案】D【解析】因为二次函数的对称轴为，且

32、图象过点（2，0）。所以得到即。又 则，故应选D。16【答案】D【解析】因为且导数存在。另一种方法：令，由且导数存在知可导。=因为，所以，故应选D。17【答案】A【解析】当时，则，。当时，则，。因为和是初等函数，所以是原函数的极值点，是原函数的拐点。当时，原函数连续，且时，时。，故点不是原函数的极值点。又原函数的导函数在处连续，即，且时，。时，则知处是原函数的拐点。综上所述，曲线在（0，2）区间内有2个极值点，3个拐点。即应选A。18【答案】C【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理，即。因为25=，所以（当且仅当时等号成立）。圆锥体积，此时，故应选C。19【答案】B【解析】令。则。

33、且，。因为和中的被积函数和上均大于0，且和的积分上限大于积分下限0。所以又，即在上严格单调递增，所以方程在上只有一个根，故应选B。20【答案】A【解析】该厂产值的增长速度是曲线的斜率。因为，即图形下凹时，增大；，即图形上凸时，减小。观察图形的凸凹性得到答案A。21【答案】B【解析】是线性函数且过和（0，1）两点，故。=。因为函数是以2为周期的连续周期函数，且在一个周期内积分的值为三角形的面积。所以一个周期内积分为，区间1，7共包括3个周期，则。即，故应选B。22【答案】C【解析】，则，。由得：，即：。用的最后一行（1 0 0）与的乘积所得的结果（2 0 1）即为的第一行的行向量，故应选C。23

34、【答案】D【解析】因为矩阵A是三阶矩阵且秩=1。所以方程组=0的解只有两个独立的解向量。即线性相关。由组成的行列式。又，则，故应选D。24【答案】C【解析】向量组线性无关的充要条件是系数行列式，即。故是向量组线性无关的必要不充分条件，应选C。25【答案】B【解析】矩阵B已经是对角矩阵，故其特征值为2，和-1。=0得到，A矩阵的特征值方程：。因为A的特征值和B的特征值对应相等，所以是方程的两根，将根代入方程得，故应选B。2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1的值是（ ）。ABCD2集合的子集的个数为（ ）。A18B16C15D143方程

35、的解为（ ）。ABCD4图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（ ）。A22B20C18D11.255一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（ ）cm3。A72pB96pC288pD384p6甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区，则甲出发后经（ ）min可以追上乙。A25B20C15D107如图，BAF=FEB=EBC

36、=ECD=90，ABF=30，BFE=45，BCE=60且AB=2CD，则tanCDE=（ ）。ABCD8复数z=i+i2+ i3+ i4+ i5+ i6+ i7，则|z+i|=（ ）。A1BCD29有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（ ）。A0.920B0.935C0.950D0.99610两个不等的实数a与b，均满足方程x2-3x=1，则的值等于（ ）。A-18B18C36D-361148支足球队，等分为8组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为（ ）。A288B240

37、C120D4812当x-1或x-2时，恒成立，则（ ）。Am=-2，n=3Bm=-3，n=2Cm=2，n=-3Dm=3，n=-213对任意两个实数a，b，定义两种运算：和算式（57）5和算式（57）7分别等于（ ）。A5和5B5和7C7和7D7和514ABC中，A:B:C=3:2:7，如果从AB上的一点D做射线l，交AC或BC边于E点，使ADE=60，且l分ABC所成两部分图形的面积相等，那么（ ）。Al过C点（即E点与C重合）Bl不过C点而与AC相交Cl不过C点而与BC相交Dl不存在15在圆所围区域（含边界）中，P（x，y）和Q（x，y）是使得分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（ ）

38、。ABCD16设y=，则=（ ）。A1B-1CD17若，则必定（ ）。Af（1）=4Bf（x）在x=1处无定义C在x=1的某邻域（x 1）中，f（x）2D在x=1的某邻域（x1）中，f（x）418下图中的三条曲线分别是： f（x）， ， 的图形，按此排序，它们与图中所标示，的对应关系是（ ）。ABCD19设函数f（x）可导，且f（0）=1，f（-lnx）=x，则f（1）=（ ）。A2-e-1B1-e-1C1+e-1De-120曲线上的点与单位圆上的点之间的最短距离为d，则（ ）。Ad=1Bd（0，1）CD21若函数在x=0点连续，则a=（ ）。A-9B-3C0D122A*是A=的伴随矩阵。若三

39、阶矩阵X满足A*X= A，则X的第3行的行向量是（ ）。A（2 1 1） B（1 2 1）CD23行列式展开式中的常数项为（ ）。A4B2C1D0241与-1是矩阵A=的特征值，则当t=（ ）时，矩阵A可对角化。A2B1C0D-125设A=，b=（-1 -1 a）T，则当a=（ ）时，方程组AX=b无解。A1B2C-1D-22007年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】D【解析】分子为；分母是一个首项为20=1，公比为2的等比数列，求和得：。题中原等式=，故应选D。2【答案】B【解析】总的组合数为，也即子集数为16个。都出现即为该集合本身，都不出现即为空集。故正确答案为B

40、。3【答案】C【解析】；又，则有，解得，故应选C。4【答案】B【解析】上下对应的长方形底边相等，左右对应的长方形侧边相等。则上下或左右长方形面积比相等。即或（x为第4个小长方形的面积），得到x=20，故应选B。5【答案】A【解析】h=12-4=8cm，l=12-2=10cm，则量杯的底面圆直径cm，即r=3cm。量杯的体积为：，故应选A。6【答案】C【解析】因为s=vt，所以（当s不变时）。从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min，则。乙比甲早出发5min去B区，设甲出发经t分钟可以追上乙，因路程相同，则t=15，故应选C。7【答案】A【解析】在RtABF中，AB =2CD且ABF =

41、30，则；又在RtEBF中，BFE=45，；在RtBEC中，BCE=60，；在RtCDE中，故应选A。8【答案】B【解析】复数z =i+i2+i2i+i2i2+i2i2i+i2i2i2+i2i2i2i=i-1-i+1+i-1-i=-1，则，故应选B。9【答案】D【解析】设事件A为“其中一个报警器发出信号”，事件B为“另一个报警器发出信号”，则P(A)=0.95，P(B)=0.92。事件A、B至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：1-1-P(A)1-P(B)=1-(1-0.95)(1-0.92)=0.996。故应选D。10【答案】D【解析】a、b是方程x2-3x+1=0的两个不

42、等实根，由韦达定理得。因，故应选D。本题不必求出a，b，直接利用根与系数的关系更为简便易行。11【答案】C【解析】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队。每组内部的比赛场次可用下述两种方法计算，一是先拿出1支球队，剩下的5支球队要与它比赛，共有5场；再选出1支，剩下的4支球队要与它比赛，共有4场，依此类推，总共场数为5+4+3+2+1=15；二是排列组合方法选择，共有组合种，并要不考虑选择的顺序，除以排列数，即=15。每组要比15场，共有8组，则初赛的场次共有815=120场，故应选C。12【答案】A【解析】当x-1和x-2时，恒成立，即对应系数相等，即，解得，故应选A。13【答案】B【解

43、析】ab的结果是a与b中的较大者，ab的结果则取较小者，则算式（57）5=5，（57）7=7，故应选B。14【答案】B【解析】在ABC中，A:B:C=3:2:7且A+B+C=180，故有A=180=45，B=180=30，C=180=105。考虑临界位置，即C与E重合，此时由于ADE=60，则ACD=75，DCB=30，且得到DC=DB。在ACD中，因为75 45，所以ADDC=DB。SBCD=SABC 。又因ADE=60恒成立，欲使DE分ABC为面积相等的两块，DE应向左下方平移，即射线l不过C点而与AC相交，故应选B。15【答案】C【解析】圆的方程可化为：，即圆心为O（3，4），半径为2，

44、整个圆处于第一象限。直线y=kx与圆相切时，取得最大值和最小值，如右图所示，上下切点即为P和Q。连接OP，OQ，PQ和OO。根据圆的切线的性质，OP=OQ=2，OPO=OQO=90，则OPO OQO，OO平分POQ，OOPQ且平分PQ于M。长度OO=5。则在RtOOQ中，OQ=，sinOOQ。在RtOMQ中，O OQ，PQ=，故应选C。16【答案】A【解析】，则。，故应选A。17【答案】C【解析】某一点的极限与该点有无函数无关，因此可排除A、B两项；f（x）=4也满足题意，故可排除D。对于C选项，因，则，故有在x=1的某邻域（x1）中，f（x）-20即f（x）2，故应选C。18【答案】D【解析

45、】与分别为函数f（x）在区间x，x+1和区间x，x+3上的平均值。因为y1（x），y2（x），y3（x）在区间x，x+1和x，x+3上均有负值，其平均值应比f（x）的峰值小，因此f（x）= y3（x）。此时明显小于零，而y2（0）明显小于零，据此可知=y2（x），则=y1（x），故应选D。19【答案】A【解析】令-lnx=t，则x=e-t，由f（-lnx）=x得f（t）=e-t，又f（0）=1，f（t）- f（0）=，则：f（t）=2-e-t，f（1）=2-e-1故应选A。20【答案】D【解析】曲线上任意一点坐标为（x，），它到单位圆圆心的距离为：=，当且仅当时等号成立。最短距离。因为，所以，

46、即，故应选D。21【答案】A【解析】若函数f（x）在x=0点连续，f（0）=a =，故应选A。22【答案】C【解析】=20，则矩阵A可逆且A*=。A*X=A化为，两边同乘以，得，则X的第3行的行向量为，故应选C。23【答案】D【解析】行列式中的x均为零时，结果即为常数项，即常数项，故应选D。24【答案】C【解析】特征值之和等于矩阵A对角线元素之和，则得第3个特征值为：（3-1-3）-（1-1）=-1，即-1为二重特征值。欲使A可对角化，则-1必对应两个线性无关的特征向量，即秩r（A+E）=1，对A+E作行等效变换，r（A+E）=1，则t=0，即t=0时，矩阵A可对角化，故应选C。25【答案】B

47、【解析】方程组AX=b无解，表明r（A） r（Ab），对增广矩阵作行变换，（Ab）=r（A） r（Ab），则有，得a=2，故应选B。2008年GCT数学试题及答案第二部分 数学基础能力测试（25题，每题4分，共100分）1.已知，则=（ ）A. B. C. D. 2.请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于（ ）A. B.1C. D.33如图1，MN是圆的一条直径，是一个正方形，在上，在圆上，如果正方形的面积等于8，则圆的面积等于（ ）A B C D 4某人从家到工厂的路程为米有一天，他从家去工厂，先以每分钟米的速度走了米后，他加快了速度，以每分钟米的速度走完了剩下的路程，记该人在分钟走过的路程为米，那么函数的图像是5.抛物线的图像不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.一个长方形的对角线长为厘米，全面积为22平方厘米，则这个长方体所有的棱长之和为（ ）厘米。A.22 B.24C.26 D.287.把浓度为50%的酒精溶液90千克全部