随机变量的定义及条件数学期望

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1、会计学1随机变量的定义及条件数学期望随机变量的定义及条件数学期望x)(X:第2页/共35页x)(XP)x(F)(X第3页/共35页nxxx,21)xX(PPnnnPPP,21第4页/共35页)(fxdxx)(fbadxxba)(fXP第5页/共35页)(X,),(X),(Xn2112( )X ( ),X ( ),X ( )nX第6页/共35页)X,X,X(n21X)X,X,X(n21X)X,X,X(n21X)xX,xX,xX(P)x ,x ,x(Fnn2211n21第7页/共35页n21X,X,Xnxxx,21nn2211nn2211xXPxXPxXPxX,xX,xXP第8页/共35页n21X

2、,X,X)(,),(),(21xFxFxFn),(21nxxxF)()()(),(2121xFxFxFxxxFnn第9页/共35页 dxxfXEXxXPXExXEXEdxxfxxXPxXEmXkin1ikikkXkn1iikiKk中心距连续型离散型原点距第10页/共35页kjYXE YEYXEXkjE第11页/共35页 XEm122XEm 二阶中心矩二阶中心矩 描述概率分布的离散程度。描述概率分布的离散程度。 21222mmXEXE第12页/共35页DYDXY ,XCovdefxy0 xyXYERXYYXmYmXEY ,XCov第13页/共35页2XE2YE 222YEXEXYE第14页/共3

3、5页第15页/共35页定义定义：设：设(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x, y)，称，称()Y XFy xP Yy Xx为在为在X=x 的的条件下条件下, ,随机变量随机变量Y的的条件分布函数条件分布函数. .第16页/共35页 离散型离散型随机变量随机变量( (X,Y), 在在y=yk条件下条件下X的条件的条件分布函数为分布函数为kkX YFx yXx yyP 1,2,P,P iyYyYxXyYxXPkkiki称为称为条件分布律条件分布律. .iijxxkXx YyYyP,P第17页/共35页连续型连续型(X, Y), ,有有 yY XXf x vFy xYy Xxvfx,Pd

4、 yfyxfxyxyfXXYXY,F 称称为在条件为在条件X=x 下下, , 随机变量随机变量Y 的的条件密度函数条件密度函数. . 第18页/共35页三、条件数学期望三、条件数学期望 1.条件数学期望概念条件数学期望概念 xyFXY yxFYX 定义定义 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量, ,条件分布函数条件分布函数 或或 存在，若存在，若 xydFyXY yxdFxYX或或则则 xydFyxXYExYEXY)(称为在称为在X=x的的条件下条件下, ,随机变量随机变量X的的条件数学期望条件数学期望.第19页/共35页 若若(X, Y)是离散型随机变量是离散型随机变量, ,则则ki

5、ikiE X Yyx P Xx Yy 若若(X, Y)是连续型随机变量是连续型随机变量, ,则则X YE X Yyxfx y dx第20页/共35页例例1： 设随机变量设随机变量(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 .0,;,e21),(其它其它xxyyxfy试求试求E(YX=x).解解;,e21)(Rxxfxx 第21页/共35页 ., 0;,e)(其它其它xyxyfxyXY在在“X=x”的条件下的条件下,有条件概率密度有条件概率密度 dyxyyfxXYEXY)()(xdyyxxy 1e一般一般有有 ).(, )(yyYXExxXYE 第22页/共35页 定理定理 设函数设函数g(x

6、)在在R上连续上连续, ,若若 yxdFxgYX)(则则随机变量随机变量g(X)在在 “Y=y”条件下的条件数期望为条件下的条件数期望为 yYXgE)( yxdFxgYX)( 定义定义 称称 2yYXEXEyYXD 为为“Y=y”的条件下的条件下, ,随机变量随机变量X的的条件方差条件方差. . 为随机变量为随机变量X 相对于条件数学期望相对于条件数学期望 的偏离程度的衡量指标的偏离程度的衡量指标. . yYXE 第23页/共35页一般一般 是实值函数是实值函数,而而随机变量的函数随机变量的函数 ,XYEX YXEY 仍是随机变量仍是随机变量. .有随机变量有随机变量的概率性质的概率性质. .

7、2.条件数学期望性质条件数学期望性质 ).(, )(yyYXExxXYE 定理定理: :设设X,Y,Z是随机变量是随机变量, ,g g( () )和和h h( () )为为R上连续上连续函数函数, ,且各数学期望存在且各数学期望存在. .有有第24页/共35页 , cYcE 1) ) c是常数是常数; ;,cyxcdFyYcEYX证：证：1) ) 对对 , ,y . cYcE , ,E EZYbEZXaZbYaXE2) ) a, b是常数是常数. .自证自证. .3) 如果如果X与与Y相互独立相互独立, ,则则 .XEYXE .)(RyxFyxFXYX, ,证证: :X与与Y 独立独立, ,

8、yxxdFyXERyYX,对对第25页/共35页 .XEYXE ; )()()()()4XYhEXgXYhXgE .)()()()(YXgEYhYYhXgE 自证自证. . ,)( XExxdFX第26页/共35页5)( )E XE X YE Xg Y22.3. .全期望公式全期望公式 . )1YXEEXE .)()()2YXgEEXgE 例例2 ： 常用全数学期望公式常用全数学期望公式 若若Y是离散型随机变量：是离散型随机变量： 1k1,1,2,( ,kkkpkpyYP),第27页/共35页 ,kkkkyYXEAXEyYA 记记 . )()(1 kkkAPAXEXE则则有有例例3 设随机变量

9、序列设随机变量序列 独立同分布，独立同分布，随机变量随机变量N, N仅取自然数仅取自然数, E(N)存在，并且存在，并且N与与 相互独立相互独立.随机变量随机变量 且且E(Y)存在。试证明：存在。试证明：,kXk 1,2, 1()E YE N E X证明：证明： nNYEnNPYEn 1)(,kXk 1,2, NkkXY1,第28页/共35页 nkknXnNP11E因为因为Xk 具有相具有相同分布同分布, ,则则 1nE YE XnP Nn11nE XnP Nn11E XE N.第29页/共35页 例例4 设某段时间内到达商场的顾客人数设某段时间内到达商场的顾客人数N服服从参数为从参数为的泊松

10、分布的泊松分布.每位顾客在该商场的消每位顾客在该商场的消费额费额X 服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布.各位顾客之间各位顾客之间消费是相互独立的且与消费是相互独立的且与N 独立独立.求顾客在该商场求顾客在该商场总的消费额总的消费额. 解解 设第设第i 个顾客消费额为个顾客消费额为Xi , 全体顾客在该全体顾客在该商场总消费额为商场总消费额为 NiiXS1第30页/共35页根据全数学期望公式得根据全数学期望公式得 )( )()(1 NiiNXEENSEESE nkknXEnNP10 0nnNnPXE.2)()(baXENE 例例5 已知随机变量已知随机变量X服从服从0, a上的均匀分布上的

11、均匀分布,随随机变量机变量Y 服从服从X, a 上的均匀分布上的均匀分布, 试求试求1) E(Y X=x), 0 x 0, 有有 其它其它0,;,1)(ayxxaxyfXY对任意的对任意的0 x a 有有 axxadyxayxXYE,2)(.4322)2()()()2aaaXaEXYEEYE 第32页/共35页解解:设窃贼需走设窃贼需走X个小时到达地面个小时到达地面,并设并设Y为窃贼为窃贼每次对三个门的选择每次对三个门的选择,则则Y均以均以1/3的概率取值为的概率取值为1,2,3,可利用全期望公式得可利用全期望公式得:31() ()() jE XE E X YjE X Yj P Yj而有而有(

12、1)3E X Y 例例6 6（巴格达窃贼问题）（巴格达窃贼问题） 一窃贼被关在一窃贼被关在3 3个门的地牢个门的地牢中，其中第中，其中第1 1个门通向自由，出这个门后个门通向自由，出这个门后3 3个小时便个小时便回到地面；第回到地面；第2 2个门通向一个地道，在此地道中走个门通向一个地道，在此地道中走5 5个小时后将返回地牢；第个小时后将返回地牢；第3 3个门通向一个更长的地道，个门通向一个更长的地道，沿着这个地道走沿着这个地道走7 7个小时也回到地牢，如果窃贼每次个小时也回到地牢，如果窃贼每次选择选择3 3个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔走的平均时间。走的平均时间。第33页/共35页由于若窃贼选第由于若窃贼选第2个门时个门时,他花他花5个小时重回地个小时重回地牢牢,此时处境与开始时完全一样此时处境与开始时完全一样,故有故有(2)5()E X YE X同理同理,窃贼选第窃贼选第3门时门时(1)3,(2)7(),E X YE X YE X故故得得1()35()7()3E XE XE X 解解得得()15(E X 小时）第34页/共35页感谢您的观看！感谢您的观看！第35页/共35页