（浙江专版）2018年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5

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1、3.2第一课时一元二次不等式及其解法预习课本P7678，思考并完成以下问题(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？(2)如何求解一元二次不等式？(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？ 1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表判别式b24ac000)的图象一

2、元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0) 的解集或xx2Rb24ac ax2bxc0) 的解集1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R()解析：(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，它是一元二次不等式(2)错误因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a0时，ax2bxc0的解集为x|

3、x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120的解集为R.答案：(1)(2)(3)(4)2不等式x(2x)0的解集为()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0 Dx|0x2解析：选D原不等式化为x(x2)0，故0x2.3不等式x22x52x的解集是()Ax|x5或x1 Bx|x5或x1Cx|1x2x，得x24x50，因为x24x50的两根为1,5，故x24x50的解集为x|x54不等式3x25x40的解集为_解析：原不等式变形为3x25x40.因为(5)2434230，所以由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40的解集为.答案：一元二次不等式解法典例解下列不等式：(1)2x25x30；

4、(4)x26x100.解(1)490，方程2x25x30的两根为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.120，解方程3x26x20，得x1，x2，作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3)0，方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，40的解集是，则ab的值为()A14B10C10 D14(2)已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集解析(1)由已知得，ax2bx

5、20的解为，且a0的解集为(2,1)，则函数yf(x)的图象为()解析：选B因为不等式的解集为(2,1)，所以a0的解集为x|2x0的解集解：由题意知即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0)即6x25x10，解得x0.解：(1)当a0时， 不等式可化为x20，解得x2，即原不等式的解集为x|x2(2)当a0时，方程ax2(12a)x20的两根分别为2和.当a时，解不等式得x2，即原不等式的解集为；当a时，不等式无解，即原不等式的解集为；当a0时，解不等式得2x0时，解不等式得x2，即原不等式的解集为.层级一学业水平达标1不等式6x2x20的解集为()A.B.C. D.解析：选A

6、因为6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集为.2设a1，则关于x的不等式a(xa)aC. D.解析：选Aa1，a(xa)0.又aa，x或xa.3在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()A(0,2) B(2,1)C(，2)(1，) D(1,2)解析：选B由abab2ab，得x(x2)x(x2)2xx2x2x20，所以2x1.4已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|xlg 2解析：选Df(x)0的解集为，010xxlg ，即x0，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x0的解集为_(用区间表示)解析：

7、先把原不等式可化为x23x40，再把左式分解因式得(x1)(x4)0，所以不等式的解集为(4,1)答案：(4,1)7若二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为(1,0)和(3,0)，则不等式ax2bxc0的解集是_解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(，1)(3，)答案：(，1)(3，)8已知函数f(x)若f(a)3，则a的取值范围是_解析：当a0时，a22a3，0a1；当a0时，a22a3，a0.解：将x23ax18a20变形得(x6a)(x3a)0，方程(x6a)(x3a)0的两根为6a，3a.所以当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x6a；当a0时，6a3a0，

8、原不等式的解集为x|x0；当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x3a10若函数f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax22ax20恒成立(1)当a0时，不等式为20，显然恒成立；(2)当a0时，有即所以0a2.综上可知，实数a的取值范围是0,2)层级二应试能力达标1不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A(，4)(4，) B(4,4)C(，44，) D4,4解析：选A不等式x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40，解得a4或a0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A(，1)(3，) B(1

9、,3)C(1,3) D(，1)(3，)解析：选A由题意，知a0，且1是axb0的根，所以ab0，所以(axb)(x3)a(x1)(x3)0，所以x3，因此原不等式的解集为(，1)(3，)3已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，且，()是方程f(x)0的两根，则，a，b的大小关系是()Aab BabCab Dab解析：选A，为f(x)0的两根，为f(x)(xa)(xb)2与x轴交点的横坐标a，b为(xa)(xb)0的根，令g(x)(xa)(xb)，a，b为g(x)与x轴交点的横坐标可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.4若0a1，则不等式x23(aa2)x9a30的

10、解集为()Ax|3a2x3a Bx|3ax3a2Cx|x3a2或x3a Dx|x3a或x3a2解析：选A因为0a1，所以03a2x的解集为_解析：由f(x)x，得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)6对于实数x，当且仅当nxn1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析：由4x236x450，得x，又当且仅当nx0的解集；(2)若不等式f(x)10的解集为，求m的值解：(1)当m1时，不等式f(x)0为2x2x0，因此所求解集为(，0).(2)不等式f(x)10，即(m1)x2mxm0，由题意知，3是方程(m1)x2mxm

11、0的两根，因此m.8已知M是关于x的不等式2x2(3a7)x3a2a20的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集解：原不等式可化为(2xa1)(x2a3)0，所以a.若a5，所以32a，此时不等式的解集是；若a，由2a3(a1)，所以32a，此时不等式的解集是.综上，当a时，原不等式的解集为.第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式典例解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)原不等式等价于即2x3.原不等式的解集为x|2x0，即0.等价于(3x2)(4x3)0.x0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0或f(x)0；0f(x)g(x)0

12、且g(x)0f(x)g(x)0或f(x)g(x)0的解集是(1，)，则关于x的不等式0的解集是()A. B.C. D.解析：选A依题意，a0且1.0(axb)(x2)0(x2)0，即(x1)(x2)0x2或x1.不等式中的恒成立问题典例已知f(x)x22(a2)x4，如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22(a2)x40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范围是(0,4)对于xa，b，f(x)0(或0)恒成立，应利用函数图象1已知f(x)x2

13、2(a2)x4，是否存在实数a，使得对任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由解：若对任意，x3,1，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3,1，f(x)0恒成立对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量2已知函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立，试求x的取值范围解：原函数可化为g(a)2xax24x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx

14、22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法af(x)恒成立af(x)max(f(x)存在最大值)；af(x)恒成立af(x)min(f(x)存在最小值)(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方 一元二次不等式的实际应用典例某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000

15、辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意，得y1.2(10.75x)1(1x)1 000(10.6x)(0x1)，整理得y60x220x200(0x1)(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式组，得0x，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本

16、增加的比例x的范围为.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解活学活用某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为x m(0x600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(

17、x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100m.层级一学业水平达标1不等式2的解集为()A1，)B1,0)C(，1 D(，1(0，)解析：选B不等式2，即20，即0，所以0，等价于x(x1)0且x0，所以1x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0,2)解析：选D不等式x2mx0，对xR恒成立，0即m22m0，0m2.4某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)t10(0t20，tN)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)t35(0t30，tN)，则使这种商品

18、日销售金额不小于500元的t的范围为()A15,20 B10,15C(10,15) D(0,10解析：选B由日销售金额为(t10)(t35)500，解得10t15.5若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为()A1 B1C3 D3解析：选C由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3.6不等式1的解集为_解析：因为1等价于0，所以0，等价于解得4x.答案：7若不等式x24x3m0的解集为空集，则实数m的取值范围是_解析：由题意，知x24x3m0对一切实数x恒成立，所以(4)243m0，解得m.答案：

19、8在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是_解析：根据定义得(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，又(xa)(xa)0对任意的实数x都成立，所以0，即14(a1a2)0，解得a0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)0，得3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0的解集为(1,3)，或(2)由f(2)0，得122a(5a)b0.又对任意实数a，f(2)0恒成立，(10)242(12b)0，b，实数b的取值范围为.10某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商

20、品要征收附加税为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值解：税率为P%时，销售量为(8010P)万件，即f(P)80(8010P)，税金为80(8010P)P%，其中0P8.(1)由解得2P6.故P的范围为2,6(2)f(P)80(8010P)(2P6)为减函数，当P2时，厂家获得

21、最大的销售金额，f(2)4 800(万元)(3)0P8，g(P)80(8010P)P%8(P4)2128，当P4时，国家所得税金最高，为128万元层级二应试能力达标1不等式2的解是()A.B.C.(1,3 D.(1,3解析：选D2x(1,32已知集合M，Nx|x3，则集合x|x1等于()AMN BMNCR(MN) DR(MN)解析：选D0(x3)(x1)0，故集合M可化为x|3x0恒成立且a1,1x3.4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,30 B12,25C10,30 D20,30解析：选C设

22、矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，y40x，xy300，x(40x)300，x240x3000，10x30.5若函数f(x)log2(x22axa)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：已知函数定义域为R，即x22axa0对任意xR恒成立(2a)24a0.解得1a0.答案：(1,0)6现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是_解析：5%6%，解得x的范围是(100,400)答案：(100,400)7已知不等式mx22xm20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m

23、|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1)对所有实数x，都有不等式mx22xm20恒成立，即函数f(x)mx22xm2的图象全部在x轴下方当m0时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有解得m0，知g(m)在2,2上为增函数，则只需g(2)0即可，即2x222x20，解得0x1.故x的取值范围是(0,1)8已知函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)a恒成立，即x2ax3a0恒成立，必须且只需a24(3a)0，即a24a120，6a2.a的取值范围为6,2(2)f(x)x2ax323.当4时，f(x)minf(2)2a7，17