高中数学 3.2.4 利用向量知识求空间中的角同步练习 理（实验班）新人教A版选修2-1

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1、高中数学 3.2.4 利用向量知识求空间中的角同步练习 理（实验班）新人教A版选修2-11平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60D902已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B. C D.3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分 别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()A. B.C. D.4把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起

2、后，EOF的大小为()A(0，90) B90C120 D(60，120)5在正方体ABCDA1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.6从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角BPAC的余弦值是()A. B. C. D.7如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_8在正方体ABCDA1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD 所成角的大小为_9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C

3、1的中点， 求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值10如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论3.2.4 利用向量知识求空间中的角1答案C解析l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，cosa，b，a，b60.2答案C解析如图，设棱长为1，()()，|，cos，故选C.3答案D解析解法一：，()().而|.同理，|.如令为所求角，则cos.应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,

4、0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.cos.4答案C解析()，()，()|2.又|，cos，.EOF120，故选C.5答案D解析解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则MGF即为所求设正方体棱长为1，MF，GF，sinMGF.解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n(1,1,0)，F(，0,0)，G(1,1，)，设直线FG与平面A1ACC1所成角，则sin|cosn，|.6答案B解析在射线PA上取一点O，

5、分别在面PAB，PAC内作OEPA，OFPA交PB，PB于EF，连接E、F，则EOF即为所求二面角的平面角在EOF中可求得cosEOF.7. 答案解析解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DNBM，则容易证明DN平面AA1C1C.连结AN，则DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角在RtDAN中，sinDAN.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OBAC，OE平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BMAB，A，B，D，又平面AA1C1C的法向量为e(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为，则sin

6、|cos，e|.解法三：设a，b，c，由条件知ab，ac0，bc0，又cb，平面AA1C1C的法向量(ab)设直线BD与平面AA1C1C成角为，则sin|cos，|，(cb)(ab)acabbc|b|2.|2(cb)2|c|2|b|22bc2，|，|2(ab)2(|a|2|b|22ab)，|，sin.8 答案30解析解法一：连结BC1，设与B1C交于O点，连结A1O.BC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1.BC1平面A1B1C，A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在RtA1OB中，A1B，BO，sinOA1B.O

7、A1B30.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)(1,0,1)，(0,1,0)设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z)则令z1得x1.n(1,0，1)，又B(1,1,0)，(0,1，1)，cosn，.n，60，所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30.9 解析以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，1)，F(，1,1)设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(2,1,1)显然平面AB

8、CD的法向量e(0,0,1)，则cosn，e.设二面角为，则cos，tan.10 解析解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则sin.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n0，n0

9、，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.解法二：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， EBM直线BE

10、与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2， BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.