2022年高考数学一轮总复习 9.1 椭 圆教案 理 新人教A版

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1、2022年高考数学一轮总复习 9.1 椭 圆教案 理 新人教A版高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质;4.了解圆锥曲线的简单应用;5.理解数形结合的思想;6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点:1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想,方程的思想,函数的思想,坐标法.本章难点:1.对圆锥曲

2、线的定义及性质的理解和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现,小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题,综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知,2a2,故a,由勾股定理得,()2

3、()24c2,所以c2,b2a2c2,故所求方程为1或1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2ny21(m0,n0且mn);(2)在求椭圆中的a、b、c时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上,抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1,C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上,也不在抛物线C2上.小明的记录如下:据此,可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一

4、:先将题目中的点描出来,如图,A(2,2),B(,0),C(0,),D(2,2),E(2,),F(3,2).通过观察可知道点F,O,D可能是抛物线上的点.而A,C,E是椭圆上的点,这时正好点B既不在椭圆上,也不在抛物线上.显然半焦距b,则不妨设椭圆的方程是1,则将点A(2,2)代入可得m12,故该椭圆的方程是1.方法二:欲求椭圆的解析式,我们应先求出抛物线的解析式,因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y2px1,y2px2,则可知B(,0),C(0,)不是抛物线上的点.而D(2,2),F(3,2)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上,故B(,0),C(0,)不可能同时出现.故选用A

5、(2,2),E(2,)这两个点代入,可得椭圆的方程是1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为1(ab0),|PF1|m,|PF2|n,在F1PF2中,由余弦定理可知4c2m2n22mncos 60,因为mn2a,所以m2n2(mn)22mn4a22mn,所以4c24a23mn,即3mn4a24c2.又mn()2a2(当且仅当mn时取等号),所以4a24c23a2,所以,即e,所以e的取值范围是,1).(2)由(1)知mnb2,所以

6、mnsin 60b2,即F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF1|PF2|()2,|PF1|ac.【变式训练2】已知P是椭圆1上的一点,Q,R分别是圆(x4)2y2和圆(x4)2y2上的点,则|PQ|PR|的最小值是.【解析】设F1,F2为椭圆左、右焦点,则F1,F2分别为两已知圆的圆心,则|PQ|PR|(|PF1|)(|PF2|)|PF1|PF2|19.所以|PQ|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题 【例3】设F1,F2分

7、别是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0,1)满足|PA|PB|,求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|a.l的方程为yxc,其中c.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,则x1x2,x1x2.因为直线AB斜率为1,所以|AB|x2x1|,即a,故a22b2,所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x

8、0c,y0x0c.由|PA|PB|kPN1,即1c3.从而a3,b3,故E的方程为1.【变式训练3】已知椭圆1(ab0)的离心率为e,两焦点为F1,F2,抛物线以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若e,则e的值是()A.B.C.D.【解析】设F1(c,0),F2(c,0),P(x0,y0),则椭圆左准线x,抛物线准线为x3c,x0()x0(3c)e.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a、 b的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx2ny21(m0,n0,mn)求解.2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.

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