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1、高考数学二轮复习 解析几何综合题一、解析几何综合题1(xx安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率【解】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由
2、余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.2(xx全国大纲高考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、
3、N四点在同一圆上，求l的方程【解】(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，x1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E(2m23，)，|MN|
4、y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2(2m)2(2)2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.3(xx浙江温州适应性测试)如图所示，抛物线C1：x24y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：1相交于C，D两点(1)求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；(2)设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由【解】(1)抛物线C1的焦点F(0,1
5、)，椭圆C2的左焦点F1(，0)，则|FF1|.(2)设直线AB：ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得x24kx4m0，故x1x24k，x1x24m.由x24y，得y，故切线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，再由PAPB，得kPAkPB1，即m1，故m1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F.由得x2k，y2kkx1x11，即P(2k，1)于是点P(2k，1)到直线AB：kxy10的距离d2.由得(12k2)x24kx20，从而|CD| ，同理，|AB|4(1k2)若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2|AB|CD|，即(2)24(1k2
6、) ，化简整理，得28k436k270，此方程无实根，所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列4(xx江西南昌一模)已知点P在椭圆C：1(ab0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，W.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由【解】(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，c1，椭圆C的左焦点坐标为(1,0)，可得2a4，解得a2.b2a2c2413，椭圆C的标准方程为1.(2)当直线斜率不存在时，|AB|2(2b)24b2，|MN|，W2a4.当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)由，得，(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，|MN|x1x2|.设直线AB的方程为ykx(k0)，由，消去y，并整理得：x2，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|x3x4|4，W4.综上所述，W为定值4.
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