2022年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1

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1、2022年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(xx青岛质检)双曲线1的渐近线方程为(B)Ayx ByxCyx Dyx解析：由题意得双曲线1的渐近线方程为0，即yx，故选B. 2已知双曲线1的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为(A)A. B.C. D.解析：由，得ba.平方得b2a2.又b2c2a2.代入，解得.3(xx浙江质检)椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(A)A. B.C2 D4解析：由椭圆x2my21，得x21，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，21，解得m.4若抛

2、物线y22px的焦点与椭圆1的左焦点重合，则p的值为(D)A2 B2C4 D6解析：椭圆的左焦点为(2，0)，抛物线的焦点为，3，p6.5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是(B)A(2，2) B(1，2)C(1，2) D(2，2)解析：F(1，0)，设A(x0，y0)是抛物线上一点，则有y4x0.又4，(x0，y0)(1x0，y0)4，化简得，x3x040.解得x01，x04(舍去)将x01代入抛物线方程，得y02.6曲线1(m6)与曲线1(5m9)的(A)A焦距相等 B离心率相等C焦点相同 D准线相同解析：m6，曲线1为焦点在x轴上的椭圆c2(1

3、0m)(6m)4，c2，2c4.又5m9，曲线1为焦点在y轴上的双曲线，即1.c2(9m)(m5)4，c2，2c4.7(xx东三省四市联考)以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为(D)Ayx ByxCyx Dyx解析：依题意得双曲线的实轴为2a22，焦距2c24，b，因此该双曲线渐近线方程是yxx，故选D.8双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m为(A)A B4 C4 D.解析：将双曲线方程化为标准形式，得1.a21，b2.根据题意，得2b22a.即24.m.9已知两点M(2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(

4、B)Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：设点P(x，y)，|MN|4，|MP|，又(4，0)(2x，y)4(2x)，44(2x)，化简得，y28x.10已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1，2) B(1，2)C2，) D(2，)解析：双曲线的渐近线方程为yx，又倾斜角为60的直线的斜率为，所以根据题意，得，即ba.两边平方得，b23a2.又b2c2a2，2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11已知双曲线中心在原点，一个焦点的坐标为(3，0)，且焦距与虚轴长之比

5、为54，则双曲线的标准方程是_解析：可知焦点在x轴上，c3，又2c2b54，5b4c12，b.根据a2c2b29，故所求的双曲线方程为1.答案：112已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，x1x2k22，故y24x.答案：y24x13(xx郴州二监)过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|10，则AB的中点P到y轴的距离等于_解析：抛物线y24x焦点为E(1，0)，准线为x1，过点A，B，P分别作准线的垂线，垂足分别为点C，D

6、，F，PF交y轴于点H，如图所示，则PF为直角梯形ABCD的中位线，|PF|5，故|PH|PF|14，即AB的中点P到y轴的距离等于4.14. ax2by21与直线yx1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为，则_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axby1，axby1，可得：a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，从而得(1).答案：三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.(12分)已知A(2，0)、定圆M：(x2)2y225，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线交MP于Q，求Q的轨迹方程解析：如图，|QP|QA|，|QM|QA|QM|QP|MP|

7、5.动点Q的轨迹是椭圆，又2a5，c2，b2a2c2，Q的轨迹方程为1.16(12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解析：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.17(14分)已知抛物线方程为y22x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，求直线

8、l的方程解析：设直线l的方程为ykx2，由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交，解得k且k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，从而x1x2.OMON，x1x2y1y20，即0，解得k1符合题意，直线l的方程为yx2.18(14分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解析：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m280.上面方程的判别式36m236(2m28)36(m28)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得2m2.故所求实数m的取值范围为2，2(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1

9、)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB|.当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.19(xx海淀二模)(14分)已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A(0，1)，B(0，1)(1)求椭圆G的方程；(2)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由解析：(1)由已知可设椭圆G的方程为1(a1)由e得e2，解得a22，所以椭圆的标准方程为1.(2)设C(x0，y0)，且x00，则D(x0，y0)因为A(0，1)，B(0，1)，所以直线AC的方程为yx1.令y0，得xM，所以M.同理直线BD的方程为

10、yx1，求得N.，所以1，由C(x0，y0)在椭圆G：y21上，所以x2(1y)，所以10，所以MAN90，所以以线段MN为直径的圆不过点A.20(14分)(xx东三省四市联考)已知圆M和圆P：x2y22x100相内切，且过定点Q(，0)(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求AOB(O为原点)面积的最大值解析：(1)由已知|MP|2|MQ|，即|MP|MQ|2，且2大于|PQ|，所以M的轨迹是以(，0)，(，0)为焦点，2为长轴长的椭圆，即其方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)且过AB的直

11、线l的方程为ykxt，代入椭圆方程得(3k21)x26ktx3t230，因为方程有两个不同的解，所以4(9k233t2)0，即3k21t2，又因为x1x2，所以，所以，化简得到3k214t，综合得0t4，又原点到直线的距离为d，|AB|x1x2|，化简得SABO，所以当t2，即k时，SAOB取最大值.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则| (C)A.B.C.D42抛物线的顶点和椭圆1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆1的右焦点重合，则抛物线的方程为(

12、A)Ay216x By28xCy212x Dy26x3双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是(C)Am Bm1 Cm1 Dm2解析：由e21m2，m1.4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为(B)A.1 B.1C.1 D.1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题依题意知a29，b227，所以双曲线的方程为1.5(xx惠州一调)已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为(C)A. B.C.或 D.或7解析：因4，m，9成等比数列，则m236，m6.当m6时圆锥曲线为椭圆y21，其

13、离心率为；当m6时圆锥曲线为双曲线y21，其离心率为，故选C.6在y2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(B)A(2，1) B(1，2) C(2，1) D(1，2)解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项，故选B.7已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为(C)A.y21 B

14、.1C.1 D.1解析：依题意可设椭圆的方程为1(ab0)，则A，B，又|AB|3，2b23a.又a2b2c21，a2，b.故C的方程为1.8(xx新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为(C)A2 B2 C2 D4解析：设P(a，b)为抛物线上在第一象限内的点，则a4，得a3，因为点P(a，b)在抛物线上，所以b2，所以SPOF22，故选C.9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过点(B)A(4，0) B(2，0)C(0，2) D(0，2)解析：直线x20是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的

15、定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)10已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(C)Ax2y Bx22yCx22y1 Dx22y2解析：由yx2x24y，焦点F(0，1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，则x22y1.11椭圆1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是(C)A(5，0)或(5，0) B.或C(0，3)或(0，3) D.或解析：|PF1|PF2|2a10，|PF1|PF2|25.当且仅当|PF1|PF2|5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.12已知F1，F2是双曲线1(ab0)的左、右焦点，P为双曲线左

16、支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是(C)A(1，3) B(1，2)C(1，3 D(1，2解析：|PF1|4a8a，当|PF1|，即|PF1|2a时取等号又|PF1|ca，2aca.c3a，即e3.双曲线的离心率的取值范围是(1，3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中的横线上)13抛物线y28x上一个点P(P在x轴上方)到焦点的距离是8，此时P点的坐标是_答案：14与椭圆1具有相同的离心率且过点(2，)的椭圆的标准方程是_答案：1或115若直线yx与双曲线1(a0，b0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是_答案：216

17、抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，则m的范围是_解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线ym(x3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m0时，有直线y0，显然存在点关于它对称当m0时，所以y，所以M的坐标为(，)，M在抛物线内，则有()2，得m且m0，综上所述，m(，)答案：(，)三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 ；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为yx.解析：(1)焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为1.由题意，

18、得解得a8，b6，c10.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为1由题意，得 解得a3，b.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1.同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为1.故所求双曲线的方程为1或1.18(12分) 已知椭圆C的焦点F1(2，0)和F2(2，0)，长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标解析：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c2，a3，从而b1，所以其标准方程是 y21.联立方程组消去y得，10x236x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB线段的中点为M(x0，y0)，那么：x1x2，x0.所以y

19、0x02.也就是说线段AB的中点坐标为.19(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为37.求这两条曲线的方程解析：设椭圆的方程为1，双曲线的方程为1，半焦距c，由已知得：a1a24，37，解得：a17，a23.所以：b36，b4，故所求两条曲线的方程分别为：1 ，1.20. (12分)已知动点P与平面上两定点A(，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M、N两点，当|MN|时，求直线l的方程解析：(1)设点P(x，y)，则依

20、题意有，整理得y21.由于x，所以求得的曲线C的方程为y21(x)(2)联立方程组消去y得：(12k2)x24kx0.解得x10, x2(x1，x2分别为M，N的横坐标)由|MN|x1x2|，解得：k1. 所以直线l的方程xy10或xy10.21(12分)设椭圆C1：1(ab0)，抛物线C2：x2byb2.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)设A(0，b)，Q，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B，且QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程解析：(1)由已知椭圆焦点(c，0)在抛物线上，可得c2b2，由a2b2c22c2，有e.(2)由题设可

21、知M、N关于y轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)，由AMN的垂心为B，有0x(y1b)0由点N(x1，y1)在抛物线上，xby1b2，解得y1，或y1b(舍去)，故x1b，M，N，得QMN重心坐标.由重心在抛物线上得3b2，b2，M，N，又M，N在椭圆上，得a2，椭圆方程为1，抛物线方程为x22y4.22(12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e.过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解析：(1)直线AB方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时，则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.