2022年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1

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1、2022年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1(xx青岛质检)双曲线1的渐近线方程为(B)Ayx ByxCyx Dyx解析:由题意得双曲线1的渐近线方程为0,即yx,故选B. 2已知双曲线1的一条渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为(A)A. B.C. D.解析:由,得ba.平方得b2a2.又b2c2a2.代入,解得.3(xx浙江质检)椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为(A)A. B.C2 D4解析:由椭圆x2my21,得x21,焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,21,解得m.4若抛

2、物线y22px的焦点与椭圆1的左焦点重合,则p的值为(D)A2 B2C4 D6解析:椭圆的左焦点为(2,0),抛物线的焦点为,3,p6.5设O为坐标原点,F为抛物线y24x的焦点,A是抛物线上一点,若4,则点A的坐标是(B)A(2,2) B(1,2)C(1,2) D(2,2)解析:F(1,0),设A(x0,y0)是抛物线上一点,则有y4x0.又4,(x0,y0)(1x0,y0)4,化简得,x3x040.解得x01,x04(舍去)将x01代入抛物线方程,得y02.6曲线1(m6)与曲线1(5m9)的(A)A焦距相等 B离心率相等C焦点相同 D准线相同解析:m6,曲线1为焦点在x轴上的椭圆c2(1

3、0m)(6m)4,c2,2c4.又5m9,曲线1为焦点在y轴上的双曲线,即1.c2(9m)(m5)4,c2,2c4.7(xx东三省四市联考)以椭圆1的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为(D)Ayx ByxCyx Dyx解析:依题意得双曲线的实轴为2a22,焦距2c24,b,因此该双曲线渐近线方程是yxx,故选D.8双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m为(A)A B4 C4 D.解析:将双曲线方程化为标准形式,得1.a21,b2.根据题意,得2b22a.即24.m.9已知两点M(2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(

4、B)Ay28x By28xCy24x Dy24x解析:设点P(x,y),|MN|4,|MP|,又(4,0)(2x,y)4(2x),44(2x),化简得,y28x.10已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1,2) B(1,2)C2,) D(2,)解析:双曲线的渐近线方程为yx,又倾斜角为60的直线的斜率为,所以根据题意,得,即ba.两边平方得,b23a2.又b2c2a2,2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11已知双曲线中心在原点,一个焦点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比

5、为54,则双曲线的标准方程是_解析:可知焦点在x轴上,c3,又2c2b54,5b4c12,b.根据a2c2b29,故所求的双曲线方程为1.答案:112已知抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_解析:设抛物线为y2kx,与yx联立方程组,消去y,得:x2kx0,x1x2k22,故y24x.答案:y24x13(xx郴州二监)过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|10,则AB的中点P到y轴的距离等于_解析:抛物线y24x焦点为E(1,0),准线为x1,过点A,B,P分别作准线的垂线,垂足分别为点C,D

6、,F,PF交y轴于点H,如图所示,则PF为直角梯形ABCD的中位线,|PF|5,故|PH|PF|14,即AB的中点P到y轴的距离等于4.14. ax2by21与直线yx1交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为,则_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则axby1,axby1,可得:a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0,从而得(1).答案:三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(12分)已知A(2,0)、定圆M:(x2)2y225,P是圆上的动点,线段AP的垂直平分线交MP于Q,求Q的轨迹方程解析:如图,|QP|QA|,|QM|QA|QM|QP|MP|

7、5.动点Q的轨迹是椭圆,又2a5,c2,b2a2c2,Q的轨迹方程为1.16(12分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1(a0,b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程解析:依题意,设抛物线的方程为y22px(p0),点P在抛物线上62p.p2,所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上,c1,即a2b21,又点P在双曲线上,1,解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.17(14分)已知抛物线方程为y22x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点若OMON,求直线

8、l的方程解析:设直线l的方程为ykx2,由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交,解得k且k0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2,从而x1x2.OMON,x1x2y1y20,即0,解得k1符合题意,直线l的方程为yx2.18(14分)已知椭圆1及直线l:yxm,(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解析:(1)由消去y,并整理得9x26mx2m280.上面方程的判别式36m236(2m28)36(m28)直线l与椭圆有公共点,0,据此可解得2m2.故所求实数m的取值范围为2,2(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1

9、),B(x2,y2),由得:x1x2,x1x2,故|AB|.当m0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.19(xx海淀二模)(14分)已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,1)(1)求椭圆G的方程;(2)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,直线AC,BD与x轴分别交于点M,N,判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由解析:(1)由已知可设椭圆G的方程为1(a1)由e得e2,解得a22,所以椭圆的标准方程为1.(2)设C(x0,y0),且x00,则D(x0,y0)因为A(0,1),B(0,1),所以直线AC的方程为yx1.令y0,得xM,所以M.同理直线BD的方程为

10、yx1,求得N.,所以1,由C(x0,y0)在椭圆G:y21上,所以x2(1y),所以10,所以MAN90,所以以线段MN为直径的圆不过点A.20(14分)(xx东三省四市联考)已知圆M和圆P:x2y22x100相内切,且过定点Q(,0)(1)求动圆圆心M的轨迹方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求AOB(O为原点)面积的最大值解析:(1)由已知|MP|2|MQ|,即|MP|MQ|2,且2大于|PQ|,所以M的轨迹是以(,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,即其方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)且过AB的直

11、线l的方程为ykxt,代入椭圆方程得(3k21)x26ktx3t230,因为方程有两个不同的解,所以4(9k233t2)0,即3k21t2,又因为x1x2,所以,所以,化简得到3k214t,综合得0t4,又原点到直线的距离为d,|AB|x1x2|,化简得SABO,所以当t2,即k时,SAOB取最大值.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1椭圆y21的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则| (C)A.B.C.D42抛物线的顶点和椭圆1的中心重合,抛物线的焦点和椭圆1的右焦点重合,则抛物线的方程为(

12、A)Ay216x By28xCy212x Dy26x3双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是(C)Am Bm1 Cm1 Dm2解析:由e21m2,m1.4已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程是yx,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上,则双曲线的方程为(B)A.1 B.1C.1 D.1解析:本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题依题意知a29,b227,所以双曲线的方程为1.5(xx惠州一调)已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线y21的离心率为(C)A. B.C.或 D.或7解析:因4,m,9成等比数列,则m236,m6.当m6时圆锥曲线为椭圆y21,其

13、离心率为;当m6时圆锥曲线为双曲线y21,其离心率为,故选C.6在y2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是(B)A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2)解析:如图所示,直线l为抛物线y2x2的准线,F为其焦点,PNl,AN1l,由抛物线的定义知,|PF|PN|,|AP|PF|AP|PN|AN1|,当且仅当A,P,N三点共线时取等号,P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,则可排除A、C、D项,故选B.7已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|3,则C的方程为(C)A.y21 B

14、.1C.1 D.1解析:依题意可设椭圆的方程为1(ab0),则A,B,又|AB|3,2b23a.又a2b2c21,a2,b.故C的方程为1.8(xx新课标全国卷)O为坐标原点,F为抛物线C:y24x的焦点,P为C上一点,若|PF|4,则POF的面积为(C)A2 B2 C2 D4解析:设P(a,b)为抛物线上在第一象限内的点,则a4,得a3,因为点P(a,b)在抛物线上,所以b2,所以SPOF22,故选C.9动圆的圆心在抛物线y28x上,且动圆恒与直线x20相切,则动圆必过点(B)A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0,2)解析:直线x20是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的

15、定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0)10已知F是抛物线yx2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是(C)Ax2y Bx22yCx22y1 Dx22y2解析:由yx2x24y,焦点F(0,1),设PF中点Q(x,y)、P(x0,y0),则x22y1.11椭圆1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时,P点坐标是(C)A(5,0)或(5,0) B.或C(0,3)或(0,3) D.或解析:|PF1|PF2|2a10,|PF1|PF2|25.当且仅当|PF1|PF2|5时,取得最大值,此时P点是短轴端点,故选C.12已知F1,F2是双曲线1(ab0)的左、右焦点,P为双曲线左

16、支上一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是(C)A(1,3) B(1,2)C(1,3 D(1,2解析:|PF1|4a8a,当|PF1|,即|PF1|2a时取等号又|PF1|ca,2aca.c3a,即e3.双曲线的离心率的取值范围是(1,3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将正确答案填在题中的横线上)13抛物线y28x上一个点P(P在x轴上方)到焦点的距离是8,此时P点的坐标是_答案:14与椭圆1具有相同的离心率且过点(2,)的椭圆的标准方程是_答案:1或115若直线yx与双曲线1(a0,b0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点,则双曲线的离心率是_答案:216

17、抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称,则m的范围是_解析:设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线ym(x3)对称,A,B中点M(x,y),则当m0时,有直线y0,显然存在点关于它对称当m0时,所以y,所以M的坐标为(,),M在抛物线内,则有()2,得m且m0,综上所述,m(,)答案:(,)三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为 ;(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为yx.解析:(1)焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为1.由题意,

18、得解得a8,b6,c10.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1.(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为1由题意,得 解得a3,b.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1.同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为1.故所求双曲线的方程为1或1.18(12分) 已知椭圆C的焦点F1(2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线yx2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标解析:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c2,a3,从而b1,所以其标准方程是 y21.联立方程组消去y得,10x236x270.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),那么:x1x2,x0.所以y

19、0x02.也就是说线段AB的中点坐标为.19(12分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|2,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为37.求这两条曲线的方程解析:设椭圆的方程为1,双曲线的方程为1,半焦距c,由已知得:a1a24,37,解得:a17,a23.所以:b36,b4,故所求两条曲线的方程分别为:1 ,1.20. (12分)已知动点P与平面上两定点A(,0)、B(,0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C;(2)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|时,求直线l的方程解析:(1)设点P(x,y),则依

20、题意有,整理得y21.由于x,所以求得的曲线C的方程为y21(x)(2)联立方程组消去y得:(12k2)x24kx0.解得x10, x2(x1,x2分别为M,N的横坐标)由|MN|x1x2|,解得:k1. 所以直线l的方程xy10或xy10.21(12分)设椭圆C1:1(ab0),抛物线C2:x2byb2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若AMN的垂心为B,且QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程解析:(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得c2b2,由a2b2c22c2,有e.(2)由题设可

21、知M、N关于y轴对称,设M(x1,y1),N(x1,y1)(x10),由AMN的垂心为B,有0x(y1b)0由点N(x1,y1)在抛物线上,xby1b2,解得y1,或y1b(舍去),故x1b,M,N,得QMN重心坐标.由重心在抛物线上得3b2,b2,M,N,又M,N在椭圆上,得a2,椭圆方程为1,抛物线方程为x22y4.22(12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e.过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(1,0),若直线ykx2(k0)与椭圆交于C,D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点,请说明理由解析:(1)直线AB方程为:bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值,由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0),当且仅当CEDE时,则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知,存在k,使得以CD为直径的圆过点E.

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