2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质学案 新人教B版必修第一册

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1、2.2.1不等式及其性质(教师独具内容)课程标准：1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式教学难点：用作差法比较代数式的大小.【情境导学】(教师独具内容)阅读下述事实：网上发布了“明天气温是今天气温的2倍”的信息，各地有不同的反应：(1)一位南方的网友做出的第一反应是“明天升温了”；(2)一位北方的网友做出的第一反应是“明天降温了”；(3)另一位北方的网友做出的第一反应是“明天的气温没有变化”请从数学上解释为什么不同地方的网友会有不同的反应提示：设今天的气温为

2、x，则明天的气温为2x，将两天的气温进行比较，有2xxx，则所以不同地方的网友会有不同的反应【知识导学】知识点一两个实数大小的比较(1)abab0.(2)abab0.(3)ababb，那么ba；如果bb，即abbb，且bc，那么ac，即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb，cd，那么acbd.(6)如果ab0，cd0，那么acbd.如果ab0，cd0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(8)如果ab0，那么(nN，n2)知识点三 证明方法(1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法综

3、合法最重要的推理形式为pq，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止分析法最重要的推理形式为pq，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立【新知拓展】1关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如ab，cd不能推出acbd.2常用的结论(1)ab，ab0.(2)b0.(3)ab0，cd0.(4)

4、若ab0，m0，则；0)；(bm0)3比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与0比较作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用(2)作商：两数(式)为同号时，作商与1比较4利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若x20，则x0.()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab，则ac2b

5、c2.()(4)若ab0，则.()(5)若x1，则x32x与x22的大小关系为x32xx22.()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2做一做(1)已知ab0，bbba BababCabba Dabab(2)设ba，dbd BacbdCacbd Dadbc(3)已知x3x题型一 作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小：(1)已知a，b为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小；(2)已知x0，b0且ab，(ab)20，ab0，(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.(2)x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2

6、x1)(x1).x1，x10，(x1)0，x310，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn(当xy时，等号成立)条件探究若将本例(2)中“x0，当x10，即x1时，x310，即x1时，x312x22x.金版点睛作差比较法的四个步骤(1)比较x36x与x26的大小；(2)已知a，bR，xa3b，ya2ba，试比较x与y的大小解(1)(x36x)(x26)x(x26)(x26)(x1)(x26)x260，当x1时，x36xx26；当x1时，x36xx26；当x1时，x36xx26.(2)xya3ba2baa2(ab)ab(ab)(a21)当ab时，xy0，所以xy；当ab时，xy0，所

7、以xy；当ab时，xy0，所以xy.题型二 不等式的性质及应用例2下列命题正确的是_0ab；ab且cdacbd；ab0且cd0 ；ab.解析；当a0时，满足已知条件，但推不出ab，错误；当a3，b1，c2，d3时，命题显然不成立，错误；0 成立，正确；显然c20，两边同乘以c2得ab，正确答案金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.(1)判断下列命题是否正确，并说明理由若，则adbc；设a，b为正实数，若ab，则ab；(2)若ab0，分别判断下列式子是否成立，并

8、简述理由.解(1)由，所以0，即0，所以或即adbc且cd0或adbc且cd0，故不正确因为a0，b0，所以a2bbab2aa2bab2ba0ab(ab)(ab)0(ab)(ab1)0，所以ab0，即ab，正确(2)成立由ab0得aab0，所以.成立因为ab0，所以abb.题型三 利用不等式的性质证明不等式例3(1)已知ab，ef，c0，求证：facb0，cd0，求证：0.求证：.证明(1)ab，c0，acbc.acbc.fe，facebc.(2)因为cdd0.又ab0，所以acbd0.所以0.再由0ba，所以0，要证，只需证明d(ab)b(cd)，展开得adbdbcbd，即adbc，bcad

9、0，因为bcad0成立，所以成立金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件，即使用分析法所以要根据已知条件和所证结论合理选择用综合法还是分析法(1)已知cab0，求证：；(2)已知a，b，x，y都是正数，且，xy，求证：.证明(1)ab，aab0，0ca0.又ab0，.(2)a，b，x，y都是正数且，xy，故，则11，即.题型四 利用不等式的性质求取值范围例4(1)已知2a5,3b10，求a

10、b，的取值范围；(2)已知，求，的取值范围解(1)3b10，10b3.又2a5，8ab2.又，.(2)，.两式相加得.，两式相加得.又，0，0.结论探究若本例(1)中，条件不变，则ab，ab的取值范围又如何？解由2a5,3b10得23ab510,23ab510，即5ab15,6ab50.金版点睛本例中不能直接用a的范围减去或除以b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系如已知20xy30,15xy18，要求2x3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x3y的范围，应把已知的“xy”“xy”视为整体，即2x3y(x

11、y)(xy)，所以需分别求出(xy)，(xy)的范围，两范围相加可得2x3y的范围“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量之间的数量关系，然后去求已知1ab2，且2ab4，求4a2b的取值范围解令ab，abv，则24,1v2.由解得因为4a2b4222vv3v，而24,33v6，所以53v10.所以54a2b10. 1若mx21，n2(x1)24(x1)1，则m与n的大小关系是()Amn Cmn Dmn答案D解析nmx20，nm.2设a，b，c，dR.则()Aab，cdacabCa3b3，ab0b2，ab0答案C解析用排除法，A错误，显然cd0时，结论不成立B错误，c0时，结论不成立D错误，a2，b1时，结论不成立故选C.3已知a0，1babab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a答案D解析本题可以根据不等式的性质来解，由于1b0，所以0b21aab20，易得答案为D.本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a1，b，也容易得到正确答案4已知0a1，则a，a2的大小关系是_答案a2a解析a0，a0，aa2，a2a.5已知1ab1,1a2b3.求a3b的取值范围解设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，则解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1. 10