2022年高考数学一轮复习第6章不等式6.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式学案文

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1、2022年高考数学一轮复习第6章不等式6.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式学案文知识梳理3必记结论(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.(4)0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)4一元二次函数的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya2(a0)(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a0)5三个二次之间的关系诊断自测1概念思辨(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不

2、等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是abab0.答案|loga(1x)|loga(1x)|解析(作差法)当a1时，loga(1x)0，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.当0a1时，loga(1x)0，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.|loga(1x)|loga(1x)|.已知二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4，求f(2)的取值范围采用方程组法，找出f(2)的表达式与f(1)，f(1)的关系，再根据不等式性质求范

3、围解由题意知f(x)ax2bx，则f(2)4a2b，设存在实数x，y，使得4a2bx(ab)y(ab)，即4a2b(xy)a(xy)b，所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范围是6,10条件探究将本典例条件变为求的最大值解设m(xy2)n，则x3y4x2mny2nm，所以即又16281，(xy2)1，227，故的最大值为27.方法技巧不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略1比较大小的常用方法：作差法与作商法如典例1.2不等式的性质及应用解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件

4、)；二是利用特殊值法排除错误答案3求代数式的取值范围(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围如典例2.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围如冲关针对训练冲关针对训练(xx长春模拟)若0，则下列不等式：0；ab；ln a2ln b2中，正确的不等式是()A B C D答案C解析由0，可知ba0.中，因为ab0，所以0，故有，即正确；中，因为baa0，则b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又b，故正确；中，因为baa20，而yln x在其定义域上为增函数

5、，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确，故选C.题型2不等式的解法已知不等式ax2bxc0的解集为x|x0，0，求不等式cx2bxa或x0的解集为x|x，a0，为ax2bxc0的两根，0.不等式cx2bxa0可转化为ax2a()xa0.(x1)(x1)0.x或x.不等式cx2bxa或x0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.(3)当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当a2，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.方法技巧1一元二次

6、不等式的求解策略(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集如典例1，冲关针对训练2含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集如典例2中对

7、参数a进行分类讨论，在讨论时要明确讨论的依据是什么冲关针对训练(xx四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案(7,3)解析f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)又x0时，f(x)x24x，不等式f(x2)5f(|x2|)5|x2|24|x2|5(|x2|5)(|x2|1)0|x2|50|x2|55x257x3.故解集为(7,3)题型3二次不等式中的任意性与存在性角度1任意性与存在性(1)若关于x的不等式x2axa0的解集为(，)，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求实数a的取值范围转化为函

8、数的恒成立和存在性问题解(1)设f(x)x2axa，则关于x的不等式x2axa0的解集为(，)f(x)0在(，)上恒成立f(x)min0，即f(x)min0，解得4a0(或用0)(2)设f(x)x2axa，则关于x的不等式x2axa3的解集不是空集f(x)3在(，)上能成立f(x)min3，即f(x)min3，解得a6或a2.角度2给定区间上的任意性问题设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_数形结合思想，分类讨论法答案解析要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3当m0时，

9、g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.角度3给定参数范围的恒成立问题已知a1,1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)采用主元与次元转化法将已知a的范围的次元变为主元答案C解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1,1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得

10、x1或x3.故选C.方法技巧形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解思路1xR的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解如角度1典例2xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围如角度2典例3已知参数ma，b的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数如角度3典例冲关针对训练1设对任意实数x1,1，不等式x2ax3a0 B.aC.a Da|a0或a12答案B解析设f(x)x2ax3a，因为对任意实

11、数x1,1，不等式x2ax3a.故选B.2设函数f(x)x21，对任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_答案解析依据题意得14m2(x21)(x1)214(m21)在x上恒成立，即4m21在x上恒成立当x时，函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.1(xx山东高考)若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aalog2(ab) B.log2(ab)aCalog2(ab) Dlog2(ab)a答案B解析ab0，ab1，log2(ab)log2(2)1.ab1，b.ab0，a0，a1,0b2，ablog2(ab)，log2(a

12、b)a.故选B.ab0，ab1，取a2，b，此时a4，log2(ab)log2511.3，log2(ab)a.故选B.2(xx全国卷)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp1，p4 Dp1，p3答案B解析设x2ym(xy)n(x2y)，则解得(xy)，(x2y)，x2y(xy)(x2y)0.x2y的取值范围为0，)故命题p1，p2正确，p3，p4错误故选B.3(xx湖北优质高中联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x0时，g(x

13、)ln(1x)，且f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析若x0，则x0，所以g(x)g(x)ln (x1)，所以f(x)则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2x2)f(x)时，2x2x，解得2x1，故选D.4(xx湖南长沙调研)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0得ab0，即ab，由a0不能得到ab，a2a2c B2a2b2cC2c2b2a D2c2a2b答案A4关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.答案A

14、解析由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a.故选A.5(xx广东清远一中一模)关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)答案C解析关于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，ab0，不等式(axb)(x3)0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求解集是(1,3)故选C.6(xx松滋期中)已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q

15、的大小关系是()Apq Bpq Cpq Dpq答案A解析由a2，故pa(a2)2224，当且仅当a3时取等号因为x222，所以q x2224，当且仅当x0时取等号，所以pq.故选A.7(xx河北武邑中学调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x3，若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A(，) B(，0)C(，0)(，) D(，)(，)答案A解析f(x)在R上为奇函数，且在0，)上为增函数，f(x)在R上是增函数，结合题意得4t2mmt2对任意实数t恒成立mt24t2m320，即x228x1920，解得12x0的解集为()A.(2，)

16、B.(2，)C.D.答案D解析yf(x2)为偶函数，yf(x)的图象关于直线x2对称f(x)在(2，)上单调递减，f(x)在(，2)上单调递增，又f(2x1)f(x1)0，f(2x1)f(x1)当x2时，2x1x1，要使f(2x1)f(x1)成立，则x12x12，解得x1(舍去)；当x2时，2x1f(x1)成立，则有若22x1，x2；若2x12x1，即14(x1)，即x，x.综上，x2，故选D.10(xx湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)若关于x的不等式f(x)2af(x)b20恰有1个整数解，则实数a的最大值是()A2 B3 C5 D8答案D解析函数f(x)的图象如图所示，当b0时，原不等式

17、化为f(x)2af(x)0时，解得af(x)0，由于不等式f(x)2af(x)0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f(3)963，a3，af(4)8，则3a8.易知当a0时不合题意当b0时，对于f(x)2af(x)b20，解得f(x)，又0bc0，y2x2b2(ca)2a2(bc)22c(ab)0，y2x2，即yx.z2y2c2(ab)2b2(ca)22a(bc)0，故z2y2，即zy，故zyx.12(xx汕头模拟)若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 _.答案解析令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，ax3(2)5，by

18、2(3)5，axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此也不成立1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立13(xx西安质检)在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_答案解析原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，x2x12，所以a2a2，解得a.14(xx江苏模拟)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_答案9解析解法一：由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b，f(x)2.又f(x)c，2c，即x.得

19、26，c9.解法二：由题意知，f(x)2b，f(x)的值域为0，)b.又f(x)c可化为x2axc0，且f(x)c0的解集为(m，m6)，cm(m6)m26m9.三、解答题15(xx昆明模拟)设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，求f(2)的取值范围解由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.16已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0.(1)求f(x)在0,1内的值域；(2)若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围解(1)因为当x(，3)(2，)时，f(x)0，所以3,2是方程ax2(b8)xaab0的两根，可得所以a3，b5，所以f(x)3x23x183218.75，函数图象关于x对称，且抛物线开口向下，在区间0,1上f(x)为减函数，函数的最大值为f(0)18，最小值为f(1)12，故f(x)在0,1内的值域为12,18(2)由(1)知，不等式ax2bxc0化为3x25xc0，因为二次函数y3x25xc的图象开口向下，要使3x25xc0的解集为R，只需即2512c0c，所以实数c的取值范围为.