《2022年高中数学《2.5.1平面向量的数量积》教学案新人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学《2.5.1平面向量的数量积》教学案新人教版必修4（4页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2022年高中数学2.5.1平面向量的数量积教学案新人教版必修4【学习目标】 1理解平面向量数量积的概念； 2掌握两向量夹角的概念及其取值范围； 3掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4掌握向量数量积的性质。【重点、难点】向量数量积及其重要性质；【温故而知新】预习填空：1向量的夹角：已知两个向量和（如图2），作，则图（2）（）叫做向量与的夹角。当时，与同向； 当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作2向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即说明：两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关； 实数与向量的积
2、与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； 规定，零向量与任一向量的数量积是3数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，过点作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。（3）数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则；当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；若是与方向相同的单位向量，则平面向量数量积的运算律1交换律：2数乘结合律： = = 3分配律：说明：（1）一般地， （2）（3）有如下常用性质：，【我的困惑
3、】二、 课堂互动探究【例1】已知：解：（1）（2）【例2】已知正的边长为，设，求解：如图，与、与、与夹角为，原式 【例3】（1）已知|=3,|=4,且与不共线,当为何值时,向量+与-互相垂直?（2）已知,是两个非零向量,且|-|=|+|,求向量与-的夹角.解:（1）+与-互相垂直的条件是(+)(-)=0,即-=0.=9,=,=0.=.也就是说,当=时,+与-互相垂直.（2）|b|=|a+b|,|b|=|a|,b2=(a+b)2.|b|2=|a|2+2ab+|b|2.ab=-|b|2 b(a-b)=ba-b2=|b|2-|b|2=|b|2(a-b)2=a2-2ab+b2=|b|2-2()|b|2
4、+|b|2=3|b|2 |a-b|=3|b|.cosb,a-b=,得cosb,a-b=-.又b,a-b0, b,a-b=.【例4】（1）设向量=m+n(m,nR),已知|=2,|c|=4,=-4,且b与的夹角为120,求m,n的值.（2）已知|=,|=3,与的夹角为45,且向量+与+的夹角为锐角,求实数的取值范围. 解:（1）ac,ac=0. 又c=ma+nb,cc=(ma+nb)c,即|c|2=mac+nbc.|c|2=nbc. 由已知|c|2=16,bc=-4,16=-4n.n=-4. 从而c=ma-4b. bc=|b|c|cos120=-4,|b|4()=-4.|b|=2. 由c=ma-
5、4b,得ac=ma2-4ab,8m-4ab=0,即ab=2m. 再由c=ma-4b,得bc=mab-4b2.mab-16=-4,即mab=12. 联立得2m2=12,即m2=6.m=.故m=,n=-4（2）或【我的收获】三、 三、课后知能检测1. 判断下列说法的正误，并说明理由.(1) 在中，若，则是锐角三角形. （ 错 ）(2) 在中，若，则是钝角三角形. （ 对 ）(3) 为直角三角形，则必有. （ 错 ）2. 在平面直角坐标系中，向量，与轴正方向的夹角为，则在轴、轴上的射影分别为 （ C ）A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ B ）A. B. C. D. 4. 设两个向量与的夹角为，为向量、的“外积”，其长度为，已知，则（ C ）A. B. C. D. 5. 已知向量、满足：，则（ D ）A. B. C. D. 6. 已知，且与的方向相同，则取值范围是 .7. 已知，且关于的方程有实根，则与夹角的取值范围是 . 8. 已知，与的夹角为，则与的夹角的余弦值为 .9. 设两个向量，满足，与夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是10. 设向量、满足，若，求的值【答案】11已知、是夹角为60的两个单位向量， (1)求; (2)求与的夹角【答案】 (1) (2)
2022年高中数学《2.5.1平面向量的数量积》教学案新人教版必修4
