数学竞赛专题函数奇偶性和单调性

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1、会计学1数学竞赛专题函数奇偶性和单调性数学竞赛专题函数奇偶性和单调性13函数f(x) =|2|log3ax 的图象的对称轴方程为x=2，则常数a= 4 . 第2页/共27页莆田四中 许沐英第3页/共27页这里主要研究运用函数的概念及函数的性质这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题解题, ,函数的性质通常是指函数的定义域、函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，对称性等等，在解决与函数有关的在解决与函数有关的( (如方程如方程、不等式等、不等式等) )问题时，巧妙利用函数及其图问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性

2、质，可以使得问题得到简化，从象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的而达到解决问题的目的. .关于函数的有关性关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材材复习复习, ,这里以例题讲解应用这里以例题讲解应用第4页/共27页一一.函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个）的定义域内任意的一个x，都有：，都有：（1）f（x）= f（x），则称），则称 y =f（x）为奇函数）为奇函数（2）f（x）= f（x），则称），则称 y =f（x）为偶函数）为偶函数第5页/共27页例例1：若：

3、若 f(x)是奇函数，当是奇函数，当求当求当时时,f(x)的解析式的解析式第6页/共27页)34,32(3P、P)0,34(2)0 ,34(2 Q)34,32(,3Q34)32()(2 = =xaxf 034)3234(2= = a)43(34)32( 3)(2 = = = =xxxxf例例1：若：若 f(x)是奇函数，当是奇函数，当求当求当时时,f(x)的解析式的解析式第7页/共27页第8页/共27页都有都有 )2()2(2)()(bafbafbfaf = = 第9页/共27页)4(log21fa = =)2()4(log21=ffa ,2第10页/共27页例例4.设设f(x)是是R上的奇函

4、数，且上的奇函数，且f(x3)f(x)，当，当0 x 时，时，f(x)x，则，则f(2003)( )A.1B.0C.1D.200323解：解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为的周期为6f(2003)f(63351)f(1)f1第11页/共27页用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设设x1x2, 并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判断断 f(x1)f(x2) 的符的符号号:(4). 作作结论结论. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式x1x2 . 配成非负实数和配成非负实

5、数和. 方法小结方法小结第12页/共27页二二. .函数的单调性函数的单调性xxy = =1 ),0 210 xx 00122121 xxxxxx11)(212112 = =xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf = = = =111)(211212xxxxxx第13页/共27页111112121122 xxxxxxxx1111212 xxxx01111212 xxxxxxxf = =1)(第14页/共27页1 xxxxxxy = = = =111xx 1xxy = =11 , 0第15页/共27页142 = =xxy)34(log2 = =xxya654321-1-2-3-4-

6、5-6-7-6-4-224第16页/共27页例例7.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的值的值.解：构造函数解：构造函数f(x)x2001x，则，则 f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函数且为是奇函数且为R上的增函数，上的增函数，所以所以 3xyx 4xy0第17页/共27页例例8解方程：解方程：ln( x)ln( 2x)3x01x2 1x42 解：构造函数解：构造函数f(x)ln( x)x则由已知得：则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，不难知，f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在R上是增函数上是增函数(证明略证明略)所以所以f(x)f(2x)f(2x)由

7、函数的单调性，得由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为所以原方程的解为x01x2 第18页/共27页思考思考1,2,31,2,3练习练习函数方程函数方程与迭代与迭代竞竞赛赛辅辅导导( (四四) )函函数数方方程程与与迭迭代代 第19页/共27页四、函数方程与迭代四、函数方程与迭代 1函数方程的定义函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程.如如 f(x1)=x、f(x)=f(x)、f(x)= f(x)、f(x2)=f(x)等等.其中其中 f(x)是未知函数是未知函数 2.函数方程的解函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解能使函数方程成立的函数

8、叫做函数方程的解. 如如 f(x)=x1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.函函数数方方程程的的解解法法: 代代换换法法（或或换换元元法法） 把把函函数数方方程程中中的的自自变变量量适适当当地地以以别别的的自自变变量量代代换换（代代换换时时应应注注意意使使函函数数的的定定义义域域不不会会发发生生变变化化） ，得得到到一一个个新新的的函函数数方方程程，然然后后设设法法求求得得未未知知函函数数 待待定定系系数数

9、法法 当当函函数数方方程程中中的的未未知知数数是是多多项项式式时时，可可用用此此法法经经比比较较系系数数而而得得 第20页/共27页四、函数方程与迭代四、函数方程与迭代 思考思考 1.1. (第第 32 届美国中学生数学竞赛题届美国中学生数学竞赛题) 函数函数 f(x)在在 x=0 处没有定义，但对所有非零实数处没有定义，但对所有非零实数 x 有有f(x)+21()fx=3x.满足方程满足方程 f(x)=f(- -x)的实数的实数( ). (A)恰有一个恰有一个 (B)恰有两个恰有两个 (C) 有无穷多个有无穷多个 (D) 不存在不存在 思考思考 2 2. .( (第第 1414 届届(200

10、3(2003 年年) )希望杯高一第希望杯高一第 1 1 试试) )设设12( )1fxx= = , , 而而11( )( )nnfxffx = = , ,*nN 记记(2)1(2)2nnnfaf = = , ,则则99a=_.=_. 思考思考3 3设定义在设定义在R R上的函数上的函数)(xf, ,满足当满足当0 x 时时, ,( ) 1,f x 且对任且对任意意,x yR 有有()( )( ),(1)2.f xyf xf yf = = = = 求求(0)f；求证；求证: :对任意对任意,()0;xRfx 都都有有 解不等式解不等式2(3) 4f x x ; ;解方程解方程21 ( )(3)

11、(2) 12f xf xf = = 思考思考1答案答案思考思考3 3答案答案第21页/共27页第22页/共27页第23页/共27页3答答案案4答答案案练习练习 1 1. .已知已知 f(2x1)=x2x，那么，那么 f(x)=_. 2.(教程教程932P)已知已知 f(x)=ax2+bx+c，若若 f(0)=0 且且 f(x+1)=f(x)+x+1，则，则 f(x)= . 3. 函 数函 数( )f x对 于 任 意 实 数对 于 任 意 实 数xy、, 都 满 足都 满 足22()( ) 2( )f xyf xfy = = ,且且(1) 0f ,则则(1998) _.f= = 4. (教程教程936P)已知函数已知函数 f(x)对于对于 x0有意义， 且满有意义， 且满足条件足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数是增函数. 证明证明 f(1)=0; 若若 f(x)+f(x2)2 成立，求成立，求 x 的取值范围的取值范围. 第24页/共27页第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！感谢您的观看！第27页/共27页