2022年高中数学第3章概率3.4互斥事件教学案苏教版必修3

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1、2022年高中数学第3章概率3.4互斥事件教学案苏教版必修31什么叫互斥事件？ 2若A，B是两个事件，则AB的含义是什么？ 3互斥事件的概率加法公式是什么？ 4什么叫对立事件，对立事件有什么性质？ 1互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件(2)如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，An彼此互斥点睛(1)若事件A1，A2，An彼此互斥，则在这些事件中，至多有一个发生，即可以有一个发生，而其他的均不发生，也可以是均不发生(2)如果事件A与B是互斥事件，那么A与B同时发生的概率为0.(3)从集合的角度来看，事件A，B彼此互斥，是指事件A，B所含的结果组

2、成的集合彼此不相交，也就是它们的交集是空集，所有事件结果构成全集I，如图所示2互斥事件的概率加法公式(1)AB表示在一次试验中A，B至少有一个发生(2)如果事件A，B互斥，那么事件AB发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)(3)如果事件A1，A2，An两两互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)点睛运用上述公式必须判断事件间的互斥性，然后再判断它们当中是否必有一个发生，否则不能用公式3对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为.(2)性质：P(A)P()1，P()1P(A)点睛(1)两个事件是对

3、立事件，则必然为互斥事件；但两个互斥事件不一定是对立事件；(2)对立事件是一种特殊的互斥事件，在一次试验中，对立事件有且只有一个发生，而互斥事件则可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生；(3)从集合的角度看，表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集；(4)两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1.1某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名同学去参加比赛(1)“恰有一名男生”和“恰有两名男生”；(2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；(3)“至少有一名男生”和“全是男生”；(4)“至少有一名男

4、生”和“全是女生”试判断以上各对事件是不是互斥事件，并说明理由解：(1)是互斥事件理由如下：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出“一名男生，一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)不是互斥事件理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有一名女生”包括“一名女生，一名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生(3)不是互斥事件理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生(4)是互斥事件理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生

5、”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，所以一定是互斥事件2某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率解：记“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件射中10环或7环的概率为P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.互斥事件、对立事件的判断典例某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不

6、订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报

7、”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生(2)利用集合的观点来判断设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A，B：若事件A与B互斥，即集合AB；若事件A与B对立，即集合AB，且ABI，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB. 活学活用1下列说

8、法：将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件若事件A与B为对立事件，则事件AB为必然事件其中，正确的个数是_解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有正确答案：22从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”解：(1)是互斥事件，

9、不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件(2)即是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

10、 互斥事件的概率典例一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事

11、件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和最后用概率加法公式求得 活学活用1现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为_解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B，D，E概率的和P(BDE)P(B)P(D)P(E).答案：2在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)8,10)10,12)12,14)14,16)16,18)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1

12、)10,16)(m)；(2)8,12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在a，b)范围内的概率为P(a，b)由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P(10,16)P(10,12)P(12,14)P(14,16)0.280.380.160.82.(2)P(8,12)P(8,10)P(10,12)0.10.280.38.对立事件的概率(3)P(14,18)P(14,16)P(16,18)0.160.080.24.典例某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示随机选出一个成员，求(

13、1)此人至少参加2个小组的概率；(2)此人参加不超过2个小组的概率解(1)由图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则表示“选取的成员至少参加2个小组”于是P()1P(A)1.(2)设B“选取的成员参加不超过2个小组”，则P()“选取的成员参加3个小组”，P(B)1P()1.(1)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解 活学活用有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自

14、第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率解：用A表示“2个人在同一层离开电梯”，则表示“2个人在不同层离开电梯”因2个人中的每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，故每人离开电梯的方法有6种，2个人离开电梯的所有方法共有6636种，而在同一层离开电梯的方法有6种，故P(A).P()1P(A)1.即2个人在不同层离开电梯的概率是.层级一学业水平达标1从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是_至少有一个红球；至少有一个白球恰有一个红球；都是白球至少有一个红球；都是白球至多有一个红球；都是红球解析：对于，“至少有一个红球”可能为一个

15、红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件答案：2口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是_解析：摸出红球的概率P10.45，摸出黑球的概率为10.450.230.32.答案：0.323.

16、 如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中、的概率分别为0.15,0.20，0.45，则不中靶的概率是_解析：设射手“命中圆面”为事件A，“命中圆环”为事件B，“命中圆环”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C，D彼此互斥，故射手中靶概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.150.200.450.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P(D)1P(ABC)10.800.20.答案：0.204甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则(1)甲获胜概率为_(2)甲不输的概率为_解析：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，“甲获胜”的概率P1.甲

17、获胜的概率是.(2)设事件A为“甲不输”，看做是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，P(A).答案：(1)(2)5从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只

18、白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥其中必有一个发生，故对立(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件层级二应试能力达标1把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是_事件解析：因为两个事件不能同时发生，但可能同时不发生，所以是互斥事件，但不对立答案：互斥但不

19、对立2从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(AB)_.(结果用最简分数表示)解析：一副混合后的扑克牌(52张)中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B).答案：3在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则：(1)小明在数学考试中取得80分以上的概率是_；(2)小明考试及格的概率是_解析：(1)P0.510.180.69.(2)P10.070.93.答案：(1

20、)0.69(2)0.934某产品分甲，乙，丙三级，其中乙，丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为_解析：记事件A甲级品，B乙级品，C丙级品，事件A，B，C彼此互斥且A与BC是对立事件，所以P(A)1P(BC)1P(B)P(C)10.030.010.96.答案：0.965掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为_解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1，表示“出现5点或6点”的事件，因此事

21、件A与互斥，从而P(A)P(A)P().答案：6如果事件A与B是互斥事件，且事件AB的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为_解析：依题意得P(A)0.6.答案：0.67现有8名翻译人员，其中A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一个组成一个翻译小组，则B1和C1不全被选中的概率为_解析：用列举法可求出所有可能的结果共18个用N表示“B1，C1不全被选中这一事件”，则表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个基本事件组成，P()

22、，P(N)1P().答案：8袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别为_解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，故由已知得解得答案：9在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个同颜色的球的概率；(3)至少取得一个红球的概率解：设“取得两个红球”为事件A，“取得两个绿球”为事件B.易知A，B为互斥事件，“至少取得一个红球”为事件C.7个红玻璃

23、球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，所有基本事件有10990(个)其中使事件A发生的基本事件有7642(个)，使事件B发生的基本事件有326(个)，所以P(A)，P(B).(1)取得两个红球的概率为P(A).(2)两球同色的概率为P(A)P(B).(3)至少取得一个红球概率即为P()1P(B).10如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所有时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L

24、2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B1)P(B2)，乙应选择L2.