函数值域的常用求法

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1、函数值域的常用求法发表在学习报2010-2011第2期总第1114期 第2版 2010年7月9日国内统一刊号CN14-00708/ 邮发代码：21-79函数值域的常用求法特级教师 王新敞函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的求函数值域的类型依解析式的特点分可分三类：求常见函数值域；求由常见函数复合而成的函数的值域；求由常见函数作某些运算而得函数的值域求函数值域的基本方法有：1直接法：利用常见函数的值域来求一次函数的定义域为R,值域为R；反比例函数的定义域为x|x0,值域为y|y0；二次函数的定义域为R,当a0时,值域为；当a0时,值域为双勾函数的值域为2配方法：转化为二次函数,利用二次函数

2、的特征来求值常转化为型如：的形式；例1 求函数的值域解：,的值域为变式：求函数,的值域解：利用函数的单调性函数在上单调增,当时,原函数有最小值为；当时,原函数有最大值为函数,的值域为3分式转化法或称为分离常数法例2 求函数 ,的值域解：把已知函数化为函数由此可得函数,的值域为 4换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；例3函数y=x+的值域是A,1B,1CRD1,+解令=t, 则x=从而有 y=+t= 2+11 值域为,1故选A5三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；例4求函数的值域：解,可设,则,原函数的值域为例5 求函数的值域.解原函数可化为：,其

3、中,原函数的值域为6基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域；例6求函数的值域.解：,当且仅当时,即时等号成立,原函数的值域为7单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. 例7 函数y=x2+ 的值域是A,B,+C,+D,解析m1=x2在,上是减函数,m2=在,上是减函数,y=x2+在x上为减函数,y=x2+ 的值域为,+故选B8数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.例8求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：,画出它的图象,由图象可知,函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到

4、两定点-1,2的距离之和,如图易见y的最小值是3,函数的值域是3,+. 9判别式法：例9 函数的最大值或最小值解法1：将转化为关于的一元二次方程看作参数：这是一个必有解的方程！因此讨论使上方程有解的参数的范围,恰为函数的值域若,则矛盾,方程无解,由,这时,解得,且当时, 函数的值域为因此函数的最大值是,无最小值解法2: 由, ,函数的最大值是,无最小值对于形如的二次分式函数的求值域问题,总可以采取分离常数法解决只有当函数的定义域没有额外限制条件时才能够使用判别式法求解例10 已知函数f=,x1,+当a=时,求函数f的最小值若对任意x1,+,f0恒成立,试#数a的取值范围解当a=时,f=x+2f

5、在区间1,+上为增函数,f在区间1,+上的最小值为f=解法一在区间1,+上,f= 0恒成立x2+2x+a0恒成立设y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=2+a1递增,当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时,函数f0恒成立,故a3解法二f=x+2,x1,+当a0时,函数f的值恒为正；当a0时,函数f递增,故当x=1时,fmin=3+a,当且仅当fmin=3+a0时,函数f0恒成立,故a3解法三 因为当x1,+时, f=x+20恒成立,所以当x1,+时, 恒成立令,x1,+则故本题主要考查函数的最小值以与单调性问题,着重于综合分析能力以与运算能力主要通过求f的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想解法一运用转化思想把f0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得解法三运用了含有参数的恒成立不等式相关结论,这种方法只使用于能够将参数单独解出到一端的情况6 / 6