2022年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课后提升训练新人教A版

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1、2022年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课后提升训练新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列函数能用二分法求零点的是()A.f(x)=x2B.f(x)=C.f(x)=ln(x+2)2D.f(x)=【解析】选C.因为函数f(x)=ln(x+2)2的零点为x=-1,函数在x=-1两侧的函数值符号异号,此函数能用二分法求零点.【补偿训练】(xx故城高一检测)已知函数y=f(x)的图象如图,其中可以用二分法求解的零点的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.因为函数y=f(x)与x轴有4个交点,其中一个交点,左右两边函数值符号相同不能用二分法求解,

2、所以可以用二分法求解的零点的个数为3个.2.(xx广州高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-0,f(0)=20-3=-20,f(1)=2-3=-10,f(3)=23-3=50,所以f(1)f(2)0,f(1.3125)0,且1.375-1.31250.1.【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致,精确度为0.1并不是让近似根保留1位小数,而是区间的右端点减去左端点的值的绝对值小于0.1.5.(xx石家庄高一检测)用

3、二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,f=9,则下列结论正确的是()A.x0B.x0=C.x0D.x0或x0【解析】选C.因为f(2)f0,所以x0.6.用二分法求方程f(x)=0在区间a,b内的根,二分次数n+1()A.只与函数f(x)有关B.只与根的分离区间的长度以及精确度有关C.与根的分离区间长度、精确度以及函数f(x)都有关D.只与精确度有关【解析】选C.根据二分法的定义可判断C正确.7.(xx长沙高一检测)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是()A.f(x)=4x-

4、1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=ln【解析】选A.因为g=-0,所以gg0,所以g(x)=4x+2x-2的零点x0.A中,函数f(x)=4x-1的零点为,则0x0-,所以,满足题意.B中,f(x)=(x-1)2的零点为1,则-x0-1,不满足题意.C中f(x)=ex-1的零点为0,x0-0,不满足题意.D中,f(x)=ln的零点为,则-x0-1,不满足题意.8.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|(为精确度)时,函数零点近似值x0=与真实零点的误差最大不超过()A.B.C.D.2【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即

5、靠近a或b,而b-=-a=,因此误差最大不超过.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(xx晋江高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)-0.984f(1.375)-0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为_.【解析】由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.06250.1,故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.4375.答案:1.4375(答案不唯一)

6、【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的.10.(xx日照高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在的区间为_.【解析】区间(1,2)的中点为x0=,令f(x)=x3-2x-1,f=-40,则根所在的下一个区间为.答案:【补偿训练】(xx南京高一检测)函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是_.【解析】因为函数

7、f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数的零点为不变号零点,即二次函数f(x)=x2+ax+b与x轴只有一个交点,所以=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b三、解答题(每小题10分,共20分)11.证明方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度为0.1)【解析】设函数f(x)=2x+3x-6,因为f(1)=-10,又因为f(x)是增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间1,2内有唯一的零点,则方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解,设该解为x0,则x01,2,取x1=1.5,f(1.5)1.330,f(1)f(1

8、.5)0,f(1)f(1.25)0,所以x0(1,1.25),取x3=1.125,f(1.125)-0.4440,f(1.125)f(1.25)0,所以x0(1.125,1.25),取x4=1.1875,f(1.1875)-0.160,所以f(1.1875)f(1.25)0,所以x0(1.1875,1.25),因为|1.25-1.1875|=0.06250.1,所以1.1875可作为这个方程的实数解.12.用二分法求函数y=f(x)=x3-3的一个正零点(精确度0.1).【解析】由于f(1)=-20,因此可取区间1,2作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,如表:端点或中点坐标端点或中点的函数值

9、取区间a0=1,b0=2f(1)=-20(1,2)x1=1.5f(1.5)=0.3750(1,1.5)x2=1.25f(1.25)-1.046 90(1.25,1.5)x3=1.375f(1.375)-0.400 40(1.375,1.5)x4=1.437 5f(1.437 5)-0.029 50(1.437 5,1.5)从表中可知|1.5-1.4375|=0.06250.1,所以函数y=x3-3精确度为0.1的正零点可取为1.5.【能力挑战题】(1)方程2x3-6x2+3=0有几个解?如果有解,全部解的和为多少?(精确度为0.01)(2)探究方程2x3-6x2+5=0,2x3-6x2+8=0

10、的全部解的和,你由此可以得出什么结论?【解析】(1)设函数f(x)=2x3-6x2+3,因为f(-1)=-50,f(1)= -10,f(2)=-50且函数f(x)=2x3-6x2+3的图象是连续的曲线,所以方程2x3-6x2+3=0有三个实数解.因为f(-1)f(0)0.因为f(-1)f(-0.5)0,所以x0(-1,-0.5).再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)0.因为f(-0.75)f(-0.5)0,所以x0(-0.75,-0.5).同理,可得x0(-0.75,-0.625),x0(-0.6875,-0.625),x0(-0.65625,-0.62

11、5),x0(-0.65625,-0.640625),x0(-0.6484375,-0.640625),x0(-0.64453125,-0.640625).由于|(-0.640625)-(-0.64453125)|0.01,此时区间(-0.64453125,-0.640625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.64,所以方程2x3-6x2+3=0在区间(-1,0)且精确到0.01的近似解约为-0.64.同理可求得方程2x3-6x2+3=0在区间(0,1)和(2,3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83,2.81.所以,方程2x3-6x2+3=0的三个解的和为-0.64+0.83+2.81=3.(2)利用(1)中的方法可求得方程2x3-6x2+5=0和2x3-6x2+8=0的所有解的和也为3.一般地,对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1,x2,x3,且x1+x2+x3=-.