2022年高中数学 3．1.2 用二分法求方程的近似解教案精讲 新人教A版必修1

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1、2022年高中数学 31.2 用二分法求方程的近似解教案精讲 新人教A版必修11二分法的定义对于区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2二分法的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)：若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断

2、是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)(4)小问题大思维1能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？提示：不能看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右两侧函数值异号2由二分法的步骤，你认为“精确度”与“精确到”是一回事吗？提示：不是一回事这里所谓的“精确度”是指区间的长度达到某个规定的数值，即|ab|.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1精确到0.01，即为0.33.3当区间(a，b)的长度达到精确度，即|ab|时，通常如何确定零点的近似值？提示：当区间长度达到精确度时，可取区间内的任

3、何一个数值作为零点为方便，常取区间的端点a(或b)作为零点用二分法求函数零点例1求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度为0.1)自主解答由于f(1)60，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值用二分法求函数零点近似值的过程中，首先

4、依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点1判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)解：因为f(1)10，f(1.5)0.8750，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3 (1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)

5、1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.用二分法求方程的近似解例2求方程x22x1 的一个近似解(精确度0.1)自主解答设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一实数根，记为x0取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5.再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5.如此继续下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.4375)|2.3752.4375|0.062 50.1，方程

6、x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.2求方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)解：在同一坐标系中，作出ylg x，y2x的图象如图所示，可以发现方程lg x2x 有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)lg xx2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)0x0(1,2)；f(1.5)0x0(1.5,2)；f(1.75)0x0(1.75,2)，f(1.75)0x0(1.75,1.875)；f(1.75)0x0(1.75,1.812 5)|1.812 51.75|0.062 50，f(2)0.950，且函数f(x)1.3xlog1.3x的图象在(1

7、,2)上是连续的曲线，所以方程1.3xlog1.3x0在区间(1,2)内有实数解x0.取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器可算得f(1.5)0.060.因为f(1)f(1.5)0.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)同理可得x0(1.375,1.5)，x0(1.437 5,1.5)，x0(1.468 75,1.5)由于|1.51.468 75|0.1，所以此时区间(1.468 75，1.5)的两个端点均可作为函数 f(x)零点的近似值，所以方程1.3xlog1.3x0在区间(1,2)内的解约为1.5(不唯一)所以函数y1.3x与函数ylog1.3x在区间(1,2

8、)内的交点坐标约为(1.5,1.31.5)，即(1.5,1.5)1如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是()解析：按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解答案：A2用二分法求函数f(x)2x3的零点时，初始区间可选为()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：f(1)30，f(0)130，f(1)230.答案：C3已知f(x)的一个零点x0(2,

9、3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()A6 B7C8 D9解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为0.01.答案：B4用二分法研究函数f(x)x23x1的零点时，第一次经过计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析：由零点的存在性可知，x0(0,0.5)，取该区间的中点0.25.第二次应计算f(0.25)答案：(0,0.5)f(0.25)5在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即得出方程的一个近似解为_(

10、精确度为0.1)解析：f(0.625)0，f(0.687 5)0，方程解在(0.687 5,0.75)上，而|0.750.687 5|0.1.解为0.718 75.答案：0.718 756用二分法求方程x250的一个近似正解(精确度为0.1)解：令f(x)x25，因为f(2.2)0.160，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，f(2.3)0.29，因为f(2.2)f(2.3)0，所以x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.0625，因为f(2.2)f(2.25

11、)0，所以x0(2.2,2.25)，由于|2.252.2|0.050.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.一、选择题1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案：D2定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f()0时，则函数f(x)的零点是()A(a，b)外的点BxC区间(a，)或(，b)内的任意一个实数Dxa或

12、xb答案：B3设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能确定解析：f(1)0，f(1.25)0，则由f(1.25)f(1.5)0可知方程根落在(1.25,1.5)上答案：B4用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|anbn|时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过()A B.C2 D.解析：最大误差即为区间长度.答案：A二、填空题5已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：x2101234567

13、8f(x)136216191318242998则下列判断正确的是_函数f(x)在区间(1,0)内有零点；函数f(x)在区间(2,3)内有零点；函数f(x)在区间(5,6)内有零点；函数f(x)在区间(1,7)内有三个零点解析：f(1)f(0)0，f(2)f(3)0，f(5)f(6)0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故正确，不正确答案：6用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_解析：令f(x)x32x5，f(x)图象在2,3上连续不断，f(2)10，f(3

14、)160，f(x0)f(2.5)5.6250，f(2)f(2.5)0，故下一个有根区间是(2,2.5)答案：(2,2.5)7已知方程mx2x10在(0,1)区间恰有一解，则实数m的取值范围是_解析：设f(x)mx2x1，方程mx2x10在(0,1)内恰有一解，当m0时，方程x10在(0,1)内无解，当m0时，由f(0)f(1)0，即1(m11)2.答案：(2，)8从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现发现某处接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点个数是_解析：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍

15、正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在故一般最多只需检查3个接点答案：3三、解答题9求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)解：设f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f()(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0 (0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)

16、0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0因为|0.687 50.75|0.06250.1，所以方程2x33x30的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.10证明方程63x2x在区间(1,2)内有唯一的实数解，并求出这个实数解(精确度为0.1)解：设函数f(x)63x2x，f(1)63210，f(2)6322240，并且f(x)63x2x在(1,2)上是减函数，函数f(x)63x2x在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程63x2x在区间(1,2)有唯一的实数解设该解为x0，则x0(1,2)，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，x0(1,1.5)取x21.25，f(1.25)0.1280，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)；取x31.125，f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0.x0(1.125,1.25)取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0.x0(1.187 5,1.25)|1.187 51.25|0.062 50.1，可取x01.25，则方程的一个实数解为1.25.