2020版高考数学大二轮复习 3.1 平面向量学案 理

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1、第1讲平面向量 考点1平面向量的概念与线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例1(1)2019河北衡水中学摸底如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2，则()A.B.C. D.(2)2019四川绵阳联考如图，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC.若mn(m，nR)，则mn()A2 B1C2 D3【解析】(1)().(2)2，2()，m，n，mn2.故

2、选C.【答案】(1)C(2)C1平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断2警示证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对接训练12019福建三明期末在ABC中，3，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则()A BC. D.解析：如

3、图，3，O为AD的中点， ()，.故选B.答案：B22019福建宁德五中期中设O为ABC的重心，若，则()A. B2C2 D.解析：解法一O为ABC的重心，又，0.与不共线，3，1，2.故选B.解法二设BC的中点为D，连接AD，O为ABC的重心，又，.B，D，C三点共线，且D为BC的中点，3，1，2.故选B.解法三连接OB，OC，即(1)0，又O为ABC的重心，0，11，1，3，2.故选B.答案：B 考点2向量的平行与垂直1向量平行(共线)(1)向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.2向量垂直向量a

4、，b是非零向量，abab0x1x2y1y20.例2(1)2018全国卷已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_；(2)2019江西南昌二中期末已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线【解析】(1)2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.(2)3a3b，5a3b，2a6b，又a3b，A，B，D三点共线故选B.【答案】(1)(2)B共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线，若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)

5、求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.对接训练32019河北六校第三次联考已知向量a(2sin x,1)，b(2，2)，c(sin x3,1)，d(1，k)，xR，kR.(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)bc(sin x1，1)，因为a(bc)，所以(2sin x)sin x1，即sin x.又x，所以x.(2)ad(3sin x,1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3si

6、n x)(sin x1)(1k)0，所以ksin2x2sin x4(sin x1)25，由sin x1,1，可得k5，1，所以存在k5，1，使得(ad)(bc) 考点3向量的数量积1平面向量的数量积有两种运算形式：(1)数量积的定义：ab|a|b|cos(其中为向量a，b的夹角)；(2)坐标运算：a(x1，y1)，b(x2，y2)时，abx1x2y1y2.2平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos.例3(1)2019全国卷已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3

7、B2C2 D3(2)2019全国卷已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.【解析】(1)本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选C.(2)本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算设a(1,0)，b(0,1)，则c(2，)，所以cosa，c.【答案】(1)C(2)1一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法解决向量的夹

8、角问题主要是利用公式“ cosa，b”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决2求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.对接训练42019河北衡水中学三调在ABC中，AB3，AC2，则()A B.C D.解析：，()，.又，.故选C.答案：C52019河南中原名校指导卷已知平面向量a(1,2)，b(1,3)，c2ab，则向量c在向量a方向上的投影为()A. B.C2 D3解析：a(1,2)，b(1,3)，|a|，c2ab(3，1)，ac5，向量c在向量a方向上的投影为.故选B.

9、答案：B课时作业6平面向量12019北京八十中学月考已知向量i与j不共线，且imj，nij，m1.若A，B，D三点共线，则mn()A. B2C1 D3解析：A，B，D三点共线，设，则mn1.故选C.答案：C22019湖南重点中学联考已知m(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是()A. B.C. D.解析：设所求向量为nm(0)，m(5,12)，n(5，12)|n|1，25214421，得，n.故选A.答案：A32019河北邢台月考若向量a(1,2)，b(2,1)，c(3，4)，则c()A3ab B2abCa2b Da3b解析：设cab，a(1,2)，b(2,1)，c(3，4)，ca2b

10、.故选C.答案：C42019河南安阳一模已知向量a(1，1)，b(1,0)，若ab和2ab共线，则()A2 B.C1 D2解析：a(1，1)，b(1,0)，ab(1，)，2ab(1，2)，又ab和2ab共线，2(1)，2.故选D.答案：D52019四川绵阳一诊已知向量a(1,2)，b(x,1)，若ab，则x()A2 B2C1 D1解析：a(1,2)，b(x,1)且ab，abx20，x2.故选B.答案：B62019湖南重点中学联考在ABC中，AB1，AC3，1，则ABC的面积为()A. B1C. D.解析：()|cos A|21，cos A，sin A，ABC的面积S13.故选C.答案：C720

11、19辽宁沈阳联考在ABC中，a，b，BN与CM交于点P，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：如图，M，P，C三点共线，则m(1m)mb(1m)a(mR)，又N，P，B三点共线，所以n(1n)na(1n)b(nR)，所以解得m，n，所以ab.故选B.答案：B82019辽宁葫芦岛六中月考已知a(2sin 13，2sin 77)，|ab|1，a与ab的夹角为，则ab()A2 B3C4 D5解析：a(2sin 13，2sin 77)(2sin 13，2cos 13)，|a|2，又|ab|1，a与ab的夹角为，a(ab)1，即a2ab1，ab3.故选B.答案：B92019广西南宁摸底若两个非

12、零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与ab的夹角的余弦值是()A. BC. D解析：结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则可知ab，ab，分别为以a，b为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为|ab|ab|2|a|，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的较长边的夹角为，数形结合可知向量ab与ab的夹角为，夹角的余弦值为.故选B.答案：B102019湖南怀化重点中学第三次联考如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D任意作直线分别交直线AB，AC于点M，N，若m，n，则()Amn2 B2mn3C.2 D.3解析：连接AD，因为M，D，N三点共线，所以(1)m

13、(1)n.又BDDC，所以，所以，于是解得3.故选D.答案：D112019江西南昌二中期末已知向量a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是()A. B(2，)C.(2，) D.(0，)解析：a与b的夹角为钝角，21.又ab(0)，2，的取值范围是(2，)故选C.答案：C122019山东淄博一中期中已知|3，|2，mn，m，nR，若与的夹角为60，且，则的值为()A. B.C6 D4解析：通解|3，|2，与的夹角为60，3.又，0.又mn，(mn)()0，即m2(mn)n20，9m3m3n4n0，n6m，.故选B.优解如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标

14、系，|3，|2，与的夹角为60，(1，)，(3,0)，(2，)，(3mn，n)又，0，6m2n3n0，n6m，.故选B.答案：B132019天津二十四中月考已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为_解析：pq，x4，q(4,6)，pq(2,3)，|pq|.答案：142019安徽合肥一模若非零向量a，b满足a(a2b)，则_.解析：通解a(a2b)，a(a2b)0，a22ab0，|ab|2a22abb2b2，|ab|b|，1.优解如图，在OAB中，点C为AB的中点，令a，a2b，则2b，a(a2b)，OAOB，ab，|ab|b|，1.答案：1152019黑龙江鹤岗一模如图，A

15、，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：2；.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有_(填序号)解析：如图，若点P在阴影部分内(包括边界)，过点P作AB的平行线与OA，OB的交点分别为C，D，连接OP，则，其中1，0，0，若设(0，0)，显然0，0，所以01且0，0，给出的5个向量中，只有满足条件01且0，0，所以终点落在阴影区域内(包括边界)的有.答案：162019北京人大附中期中已知平面上有四点O，A，B，C，向量，满足0，1，则ABC的周长是_解析：0，O为ABC的重心又，()0，0，OBCA.同理OABC，OCAB，O为ABC的垂心，ABC为等边三角形，两两所成的角均为120，且模相等又1，的模均为，ABC的边长为，ABC的周长是3.答案：3- 12 -