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1、2022年高中数学第二册(上)直线方程的一般形式(I)一、教学目标 (一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点 二、教材分析 1重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系2难点：与重点相同3疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系同条直
2、线对应的多个二元一次方程是同解方程 三、活动设计 分析、启发、讲练结合 四、教学过程 (一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角当90时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当=90时，它的方程可以写成x=x0的形式由于是在坐标平面上讨论问题，上面两
3、种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0 (1)其中A、B不同时为零(1)当B0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式引导学生思考：直线与二元一次方程
4、的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作
5、为最终结果保留例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上证法一 直线AB的方程是：化简得 y=x+2将点
6、C的坐标代入上面的方程，等式成立A、B、C三点共线A、B、C三点共线|AB|+|BC|=|AC|，A、C、C三点共线讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求，则计算量要小得多代入x+2y-10=0有：解之得 =-3(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直
7、线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得五、布置作业1(16练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=03(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程5(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=06过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计
2022年高中数学第二册(上)直线方程的一般形式(I)
