向量基础知识及应用

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1、向量基础知识及应用基本知识：i.向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）2 .向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）3 .实数与向量的积入a .向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数入，使得b =入a。4 .向量a和b的数量积：a b =| a | | b |cos ,其中 为a和b的夹角。向量b在a上的投影：|b |cos，其中为a和b的夹角a b=05.向量的坐标表示：0A Xiy j X, y若向量a x, y，则 |a |若 P1 ( Xi , y1)、P2 ( X2 ,y2）,则Pi P2X2Xi, y2 yi

2、；2yi)6.向量的坐标运算及重要结论:若 a = ( Xiy1)b = ( X2 , y2 )DabXiX2, yiy22) aXiX2,yi y2Xi,yiXi X2yiy a/bXy2 X2yibxi x2 +yiy2 =0cosXiX2-Xi2 V；yiy?（为向量的夹角）7.点P分有向线段PP2所成的比的PPPP2,或PiPPP2P内分线段PP2时,0；P外分线段PP2时,0.8.定比分点坐标公式:XiX2iyi y2ii ,中点坐标公式:Xx22yiy229.三角形重心公式及推导（见课本例 2）:三角形重心公式： （x一x2一区3y y2 y3)310.图形平移：设F是坐标平面内的

3、一个图形,将F上所有的点按照同一方向移动同样长度（即按向量a平移），得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式：x X h或y y kx hy k平移向量a = PP= (h, k)应用：1.利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量0R,0g,0B满足条件OROP2 OP30OPiOP2证：PP2 Ps是正三角形解：令O为坐标原点，可设Pi cos 1 ,sin1 ,P2cos 2, sin,P3 cos 3,sin 3由 OP OP，cos 1,sin 1cos2,sin 2cos 3sin 3cos 1 cos 2sin 1 sin 2cos 3

4、sin 3两式平方和为12cos 1211,cos 1由此可知12的最小正角为120,即OR与OP2的夹角为120,同理可得OP1与OP3的夹角为1200, OP 2与OP3的夹角为1200,这说明P,P2,E三点均匀分部在一个单位圆上，所以PP2 P3为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴建立直角坐标系，设 A 2a,0 , B 0,2a ,则Dx轴、ya,0 ,C 0,a从而可求:AC2a, a , BD a, 2a , cosAC BDAC BD4a25a24arccos 一52.利用向量的坐标运算，解决有关线段的

5、长度问题例3已知 ABC , AD为中线，求证AD2-AB2 AC2 2证明：以B为坐标原点,以BC所在的直线为D c,0 ,则 AD 22a 0 b22a,a a, 2a 5a 5a2BC2x轴建立如图2直角坐标系，设Aa,b,Cc,0 ,2 c22ac a b , 4ABACb2b2从而ADBCacAD2-AB2 AC2 22BC3 .利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4已知点。是 ABC内的一点，AOB 150,BOC 90,设OA a,OB b,OC c,且 a 2, b 1,c3,试用 W,和b表示A解：以O为原点，OC, OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.

6、由 OA=2 , AOx 120 ,所 以 A 2cos12,2sin12 ,即A-1,* ,易 求,设-1 3 21- 31 0,-12 3,0,1 .-3- 12-3B ,-1 , C 3,OA 1OB2Oc,ip -1,73a ,3b 1c.3例5如图，OA OB 1,oA与oB的夹角为120,OCf oA的夹角为30,oC 5,用OA,OB表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A 1,0 ,由 COA 30,所以 C 5cos30,5sin30，即C5 3 52 21 . 3同理可求B 1,2 25.3 5OC 1OA 2OB,即 5A51

7、1,02253110.3-Z-1 -二 2 1-2235 V3 逋.-2222310 353OC OA 5- OB .331世2, 24 .利用向量的数量积解决两直线垂直问题 例6求证：三角形的三条高交于同一点分析如图，已知 ABC中，由AD BC, BE AC,AD BE H,要证明CH AB,利用向量法证明CH AB,只要证得CH AB 0即可；证明中，要充分利用好 AH BC 0 , BH CA 0这两个条件AD BC, H 在 AD 上，AH BC 0 而AH(CH CA) BC 0,即 CH BCCA BC又 BH AC,BH CH CB,BH AC0 即(CH CB) ACCH A

8、C CB AC 0-得：CH BC CH ACBC AC 00CH CA ,点的线的距离,从而CH BA 0 ,CH AB ,CH AB.5.利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离,点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离,sin ); 则 向 量|OA| |OB| 1, OA OB coscos(OA OBcoscossin sincossin sin|OA|OB|注：用同样的方法可证明cos()cos cos，由向量夹角公式得:，从而得证.sin sin例7求平面内两点 A(x1,y1), B(x2,y2)间的距离公式分析已知点A(xi,y) Bdm)求

9、A, B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出 向量 AB,那么 AB (x2 x1,y2 y1),W|AB| | AB |,根据向量模的公式得| AB |式X2 xi)2 (y2一厅，从而求得平面内两点间的距离公式为 |AB| . (x?xi)2(丫2-yi)2 .解：设点 A(x1，yi), B(x2,y2) , AB M xl y1) 122_ 二| AB| dM xi)(y2 yi)，而 | AB | | AB |点A与点B之间的距离为：|AB| %?(x2 x1)2 (y2 y1)26.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题例 8 证明：cos( ) cos cos

10、 sin sin分析如图，在单位圆上任取两点 A,B ,以Ox为始 边，OA,OB为终边的角分别为 ，设出A,B两点的坐 标，即得到 OA,OB的坐标，则 为向量OA,OB的 夹角；利用向量的夹角公式，即可得证 .证明：在单位圆 O上任取两点 A, B,以Ox为始边， 以OA, OB为终边的角分别为，则A点坐标为 (cos, sin),B 点 坐 标为 (cosOA(cos,sin),OB (cos,sin ),它们的夹角为7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题例9证明柯西不等式(x12y12) (x22y22)(x/2yiY2)2证明：令 a (xi,yi),b (x2,y2)(1)

11、当a 0或b 0时，a b x1x2 y1y2 0,结论显然成立;(2) 当a 0且b 0时，令为a, b的夹角，则 0,a bx1x2 y1y2 |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b| （当且仅当ab时等号成立）IX1X2 y,y2 |Xi2 v；X22 V：（xi2 V12）（X22 V22） （X1X2 阳2）2.（当且仅当X 上 时等号成立）ViV2例 10求 y sin2 x 2sin XcosX 3cos2x的最值解：原函数可变为 y 2 sin 2x cos2x ,所以只须求y sin 2x cos2x的最值即可, 构造 a sin 2x,cos2x , b 1,1 ,那么 sin 2x cos2x a b a b 2 .故 ymax 2.2,ymin22.