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1、2022年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(I)教学目的：1. 掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用 教学重点：利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点：复合函数的求导法则的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内. 对于复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：；2.法则1 法则2 , 法则3 3.复合函数的导数：设函
2、数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代二、讲解范例：例1函数的导数.解：设，则 说明：求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；本题如果选成，就复杂了要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤如此例的解题过程可以直接写成例2求的导数解：，
3、例3求证：，其中*说明：这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时，用倒序求和等方法给出过证明，这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式证明：由二项式定理知，两边同时对x求导，得 令得说明：是作为复合函数对求导的例4求y=(axbsin2x)3对x的导数.解：y=3(axbsin2x)2(axbsin2x)=3(axbsin2x)a(bsin2x)=3(axbsin2x)ab2sinx(sinx)=3(axbsin2x)ab2sinxcosx=3(axbsin2x)(absin2x)例5求y=sinnxcosnx的导数.解： y=(sinnx)cosnx+sinnx(cosnx)=nsinn1
4、x(sinx)cosnx+sinnx(sinnx)(nx)=nsinn1xcosxcosnxnsinnxsinnx=nsinn1x(cosxcosnxsinxsinnx)=nsinn1xcos(n+1)x.例6求函数y=x2(3x2)(32x)的导数.分析: 这是三个函数乘积的导数，只要根据公式(uv)=uv+uv+uv就可以求了.解：y=(x2)(3x2)(32x)+(x2)(3x2)(32x)+(x2)(3x2)(32x)=2x(3x2)(32x)x23(32x)x2(3x2)(2)=24x339x2+12x.例7求函数y=的导数.分析: 先把y看成幂函数y=，里面的函数的求导要用到商的导
5、数法则，和积的导数法则.解：y=例8求y=(3x+1)2的导数.分析: y可以看成两个函数u、v的乘积，而u、v都是复合函数.解：y=(3x+1)2+(3x+1)2()=2(3x+1)(3x+1)+(3x+1)2=2(3x+1)3+(3x+1)2=6(3x+1) + (3x+1)2=6(3x+1) 例9求y=(x23x+2)2sin3x的导数.解：y=(x23x+2)2sin3x+(x23x+2)2(sin3x)=2(x23x+2)(x23x+2)sin3x+(x23x+2)2cos3x(3x)=2(x23x+2)(2x3)sin3x+3(x23x+2)2cos3x.三、课堂练习：1求下函数的
6、导数.(1)y= (2)y= (3)y=sin(3x) (4)y=cos(1+x2)(1)解：y=(2x21)3y=(2x21)3=3(2x21)4(2x21)=3(2x21)4(4x)=12x(2x21)4(2)解：y=y=(3x+1)= (3x+1)(3x+1)= (3x+1)3= (3x+1).有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.(3)解：y=sin(3x)=cos(3x)(3x)=cos(3x)3=3cos(3x)(4)解：y=cos(1+x2)=sin(1+x2)(1+x2)=sin(1+x2)2x=2xsin(1+x2).2.下列函数中，导数不等于sin
7、2x的是(D)A.2cos2x B.2+sin2x C. sin2x D.xcos2x解：A：(2cos2x)=0 (sin2x)(2x)=sin2x2=sin2x.B:(2+sin2x)=0+2sinx(sinx)=2sinxcosx=sin2x.C:( sin2x)=2sinx(sinx)=2sinxcosx=sin2xD:(xcos2x)=12cosx(cosx)=12cosx(sinx)=1+sin2x.3.函数y=xcosxsinx的导数为(B)A.xsinx B.xsinx C.xcosx D.xcosx解：y=(xcosxsinx)=(xcosx)(sinx)=xcosx+x(cosx)cosx=cosxxsinxcosx=xsinx4.求y=的导数.解：y=()四、小结 ：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数，分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便，利用幂函数的求导公式 五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：
2022年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(I)
