2022年高中数学 10.4《二项式定理》备课资料 旧人教版必修

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1、2022年高中数学 10.4二项式定理备课资料 旧人教版必修例1在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为A.-160 B.240 C.360 D.800分析：把(x2+3x)+25直接展开，即=(x2+3x)5+5(x2+3x)42+10(x2+3x)322+10(x2+3x)223+5(x2+3x)24+25.注意到x的指数为1，只有在5(x2+3x)24中才出现x的项，所以x的系数为54=240.答案：B但应明确直接展开只适用于n是较小的自然数.二、利用二项展开式的通项公式例2由(x+)100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_项.A.50 B.17 C.16 D.15分析：考

2、虑(x+)100的展开式的通项Tr+1=(x)100-r()r=x100-r=x100-r.要使系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k(kZ)，而且06k100,即r=0,6,12,96，因此共有17项.答案：B三、分解因式求特定项系数例3求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x4项的系数.分析：原式=(1-x3)(1-x)9,其中(1-x)9展开式的通项为Tr+1=(-x)r.令r=4,得T4+1=x4;令r=1,得T1+1=-x.故x4的系数为+=135.四、利用排列组合原理求系数例4求(x2+3x-1)9(2x+1)4展开式中含x2的项的系数.分析：为了保证相乘得到x2的项，则前一

3、式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的个数有以下几种情况：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展开式中含x2的项为x2(-1)8+(3x)2(-1)7+ (3x)1(-1)82x+(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2,故所求系数为-123.五、利用估算公式求系数最大项估算公式：若二项式(ax+by)n(a,bR+,nN)的展开式的系数最大的项为第r+1项，则有公式证明：设展开式的第r、r+1、r+2项的系数分别为,.由展开式相邻两项的系数关系，易知而由题意，第r+1项的系数最大，所以，,即成立.例5问(2+3x)20展开式中系数最大的项是第几项

4、？解：设第r+1项的系数最大，则解得r.由于r是正整数，所以r=12,即第13项的系数最大.说明：若在(ax+by)n中，a、b异号，则估算公式改为由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项.六、巧求二项展开式某一特定项求二项展开式中某一特定项是排列组合二项式定理中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.例6求(a+b+c+d)1995展开式中a200b800c900d95项的系数.解：(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d),一共199

5、5个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a200b800c900d95项的系数应为.例7求(|x|+-2)3展开式中的常数项.解：(|x|+-2)3=()6.展开式中第r+1项为Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r,当且仅当r=3时，Tr+1为常数，所以，所求常数项为T4=-20.例8求(1+x-x2)6展开式中的x5项.分析：1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.解：(1+x-x2)6展开式中，xm+2n项(其中m,n都是自然数，且m+2n6)是(-1)nxm+2

6、n.已知m+2n=5,方程的解有以下几种情况：若n=1,则m=3,得项-x5=-60x5;若n=2，则m=1，得项x5=60x5;若n=0,则m=5,得项x5=6x5.以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.备课资料一、与二项式系数有关的求和问题(一)赋值法例1证明下列等式.(1)+=2n;(2)+=+=2n-1.证明：利用(1+x)n=+x+x2+xn赋值.令x=1可得(1+1)n=+=2n.令x=-1可得(1-1)n=+.可得+=+.又+=2n,+=+=2n=2n-1.例2若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=_.分析：令x=

7、1可得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4.又a0=()4=9,a1+a2+a3+a4=(2+)4-9=88+56.(二)公式法例3求和：+ +.分析：针对求和问题，抓住变通项思路，灵活运用组合数公式将变量转化为不变量，并结合组合数性质进行化简.解：=，+=+=(+)=(+-1)= (2n+1-1).(三)裂项求和例4求和：+.分析：抓住通项，对通项进行变形，然后寻求求解思路.解：=,=.+=(+(-)=2-.(四)构造等式例5求和：+(rn).解：由等比数列前n项和公式知(1+x)r+(1+x)r+1+(1+x)n=.又等式左边的展开式中xr项的系数和为+.等式右边的展开式中xr项的系数

8、就是(1+x)n+1-(1+x)r展开式中xr+1项的系数为.+=.(五)逆用二项式定理例6已知等比数列an的首项为a1,公比为q.求和：a1+a2+a3+an+1.解：a1+a2+a3+an+1=a1+a1q+a1q2+a1qn=a1(+q+q2+qn)=a1(1+q)n.(六)倒序相加法例7已知等差数列an的首项为a1,公差为d,求和：a1+a2+a3+an+1.解：设Sn= a1+a2+a3+an+1, 则Sn=an+1+an+an-1+a1,即Sn=an+1+an+an-1+a1. +得2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a1+an+1).又等差数列an的首项为a1,公差为d

9、,a1+an+1=a2+an=a3+an-1=a1+an+1=2a1+nd.2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a3+an-1)+(a1+an+1)=(2a1+nd)(+)=(2a1+nd)2n.a1+a2+a3+an+1=(2a1+nd)2n-1.二、创设问题情境证明组合数等式有关多个组合数之和的等式可以通过创设问题情境，并设计不同的解题方案，寻求其中的等量关系.例1求证：+=2n.创设问题：集合A=a1,a2,an的所有子集的个数是多少？方案一：按A的子集中元素的个数分类求解+.方案二：按ai是否进入A的子集分步求解=2n.结论：+=2n.例2求证：()2+()2+()2+()2

10、=.创设问题1：求(1+x)2n展开式中xn的系数.方案一：考虑(1+x)2n展开式中xn的系数.方案二：考虑(1+x)n(1+x)n展开式中xn的系数为+.结论：()2+()2+()2+()2=.创设问题2：一只口袋中有2n个不同小球，其中有n个红色的，n个黄色的，从中任取n个小球，有多少种方法？方案一：不分红黄，从2n个小球中任取n个小球.方案二：按照所取红球的个数分类+.结论：()2+()2+()2+()2=.另外，类似还可设计问题A=a1,a2,an,b1,b2,bn，求A的含有n个元素的子集的个数.例3求证： +2+3+n=n2n-1.创设问题：求数列ar,ar=r的前n项和Sn.方

11、案一：依次求Sn=+2+n.方案二：颠倒求Sn=n+(n-1)+=n+(n-1)+.错位相加得2Sn=n(+)=n2n.结论：+2+3+n=n2n-1.创设问题情境证明组合数等式不仅运算量小，生动有趣，而且有利于培养我们的想象力和创造性思维能力，如果我们拥有这方面的意识，就能很快找到创设问题的依据，从而帮助我们巧妙解决难题.备课资料一、有关二项式定理的高考试题分类解析高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题，及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易

12、题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用.(一)求多个二项式的积(和)的展开式中条件项的系数例1(xx年全国高考)(x2-)9展开式中x9的系数是_.分析：此题体现抓“通项”的思路.解：Tr+1=(x2)9-r(-)r=(-1)r2-rx18-2rx-r=(-1)r2-rx18-3r,当18-3r=9时,得r=3,所以x9系数为(-1)32-3=-.例2(xx年全国高考题)(x+2)10(x2-1)展开式中含x10的系数为_.(用数字作答)分析：(x+2)10 (x2-1)展开式中含x10的项由(x+2)10展开式中含x10的项乘以-1再加上(x+2)10展开式中含x8的项

13、乘以x2得到，即x10(-1)+ x822x2,故所求的x10的系数为(-1)+22=179.例3(xx年上海高考题)在(1+x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为_.分析：(1+x)5(1-x)4=(1+x)(1-x2)4,其中(1-x2)4展开的通项为(-x2)r,故展开式中x3的系数为-=-4.例4(1990年全国高考题)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数等于_.分析：求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量.原式=,只需求(x-1)6展开式中x3的系数即可，Tr+1=x6-r(-1)r,令r=3得

14、系数为-20.(二)求多项式系数和例5(xx年全国高考题)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为A.1 B.-1 C.0D.2分析：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法.解：欲求式可变为(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4).实际上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分别为已知式在x=1,x=-1的值.令x=1，得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,令x=-1，得(2-)4=a0-a1+a2-a3+a4,(a0+a2+a4)2-

15、(a1+a3)2=(2+)4(2-)4=(2+)(2-)4=(4-3)4=1.(三)求幂指数n例6(1995年上海高考题)若(x+1)n=xn+ax3+bx2+1(nN),且ab=31,那么n=_.分析：x3的系数a=，x2的系数b=C2n,依题意ab=31,即=31,解得n=11.即n=11满足题意.(四)求二项式中有关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素.例7(1997年全国高考题)已知()9的展开式中x3的系数为,则常数a的值为_.分析：通项Tr+1=()9-r(-)r=a9-r(-)r,令r-9=3,解得r=8,故a9-r(-)r=.解得a=4.例8(xx年上海

16、高考题)设nN,(1+)n的展开式中x3的系数为,则n=_.分析：Tr+1=()rxr,令x3的系数为,展开整理得.解得n=4.(五)三项式转化成二项式问题例9(1997年全国高考题)在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为A.160 B.240C.360 D.800分析：原式写成二项式(x2+2)+3x5,设第r+1项为含x的项.则Tr+1=(x2+2)5-r(3x)r(0r5),要使x的指数为1，只有r=1才有可能，即T2=(x2+2)43x=15x(x8+42x6+64x4+48x2+24).x的系数为1524=240.答案：B(六)求整除余数例10(1992年“三南”高考题)919

17、2除以100的余数是_.分析：9192=(90+1)92=9092+9091+90+.由此可见，除后两项外均能被100整除.而90+=8281=82100+81.故9192被100整除余数为81.(七)利用二项展开式证明不等式例11(xx年全国高考题)已知i,m,n是正整数，且1imn.(1)证明：nimi;(2)证明：(1+m)n(1+n)m.证明：(1)略.(2)由二项式定理知(1+m)n=,(1+n)m=由(1)知nimi,又=,=nimi (1imn).故.又n0=m0，n=mn=m,即(1+n)m(1+m)n.(八)求近似值例12某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产=，人均粮食占有量=)分析：此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力.解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷(hm2),又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷(t/hm2),依题意得不等式,化简得x1031-,1031-=1031-(1+0.01+0.012+)1031-1.10454.1,x4(公顷).