2022年高二上学期入学数学试卷 含解析

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1、2022年高二上学期入学数学试卷 含解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A10B9C8D72若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D33在ABC中，a=4，b=4，A=30，则B的值为（）A45B135C45或135D不存在4设变量x，y满足约束条件：，则z=x3y的最小值（）A2B4C6D85如图是xx某市举行的名师评

2、选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A84，4.84B84，1.6C85，1.6D85，46在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则ABC的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D锐角三角形7在数列an中，a1=1，anan1=，则an=（）ABCD8设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A2BC4D89从1，2，3，4，5中随机选取一个数为a，从1，2，3中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）ABCD10某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）Aa=

3、4Ba=5Ca=6Da=711等差数列an的前n项和为Sn，若，则=（）A1B1C2D12已知正项等比数列an，满足a5+a4a3a2=9，则a6+a7的最小值为（）A9B18C27D36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13不等式3的解集是14在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率15设等差数列an的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30=16平行四边形ABCD中，BAD=60，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=+（，R），则+的最大值为三、解答题：本大题共7小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17为了

4、了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？18已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC（1）求角C的值；（2）若c=4，a+b=7，求SABC的值19已知数列an满足a1=1，an+1an=2，等比数列bn满足b1=a1，b4=a4+1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn

5、=anbn，求数列cn的前n项和Sn20已知函数f（x）=x22x8，g（x）=2x24x16，（1）求不等式g（x）0的解集；（2）若对一切x2，均有f（x）（m+2）xm15成立，求实数m的取值范围21ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，），=（cos2B，1）且（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求ABC的面积SABC的最大值22数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn；（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意nN*，均有成立？若存在，求出m的值：

6、若不存在，请说明理由23已知A，B是函数f（x）=+log2的图象上任意两点，且=（+），点M（，m）（I）求m的值；（II）若Sn=f（）+f（）+f（），nN*，且n2，求Sn（III）已知an=，其中nN*Tn为数列an的前项和，若Tn（Sn+1+1）对一切nN*都成立，试求的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A10B9C8D7【考点】分层抽

7、样方法【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数【解答】解：由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7可以做出每=30人抽取一个人，从高三学生中抽取的人数应为=10故选A2若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据所给的向量的坐标，写出要用的8的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可【解答】解：向量=（1，1），=（2，5），x=4故选C

8、3在ABC中，a=4，b=4，A=30，则B的值为（）A45B135C45或135D不存在【考点】正弦定理【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，即可求出B的度数【解答】解：a=4，b=4，A=30，由正弦定理=得：sinB=，ba，BA，则B=45或135故选C4设变量x，y满足约束条件：，则z=x3y的最小值（）A2B4C6D8【考点】简单线性规划【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x3y的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函

9、数在点（2，2）取最小值8故选D5如图是xx某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A84，4.84B84，1.6C85，1.6D85，4【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】正确读出相关数据，再利用平均数和方差公式计算【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于故选C6在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则ABC的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D锐角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】在

10、ABC中，由a=2bcosC利用余弦定理可得 a=2b，化简可得 b2=c2，从而得出结论【解答】解：在ABC中，a=2bcosC，由余弦定理可得 a=2b，化简可得 b2=c2，b=c，故三角形为等腰三角形，故选A7在数列an中，a1=1，anan1=，则an=（）ABCD【考点】数列的求和【分析】累加法：先变形得，anan1=，由an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1），可得an（n2），注意检验a1是否适合【解答】解：anan1=，则，以上各式相加得，所以（n2），又a1=1，所以，故选A8设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A2BC4D8【考点】基本不

11、等式【分析】由于a0，b0，是3a与3b的等比中项，可得，可得a+b=1利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b0，是3a与3b的等比中项，化为3a+b=3，化为a+b=1则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，+的最小值是4故选：C9从1，2，3，4，5中随机选取一个数为a，从1，2，3中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有53种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

12、试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有53种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，由古典概型公式得到P=，故选D10某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）Aa=4Ba=5Ca=6Da=7【考点】程序框图【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1+的值，利用裂项相消法易得答案【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1+=1+1=2若该程序运行后输出的值是，则 2=a=4，故选A11等差数列an的前n项和为Sn，若，则=（）A1B1C2D【考点】数列的求和【分析】由已知结合等差数列的性质可得， =，代入等差数列的求和公式

13、即可求解【解答】解：即=则=1故选B12已知正项等比数列an，满足a5+a4a3a2=9，则a6+a7的最小值为（）A9B18C27D36【考点】等比数列的通项公式【分析】可判数列an+an+1也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列设其公比为x，a2+a3=a，则x（1，+），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x（1，+），由导数求函数的最值即可【解答】解：数列an是各项均为正的等比数列，数列an+an+1也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列设其公比为x，a2+a3=a，则x（1，+），

14、a5+a4=ax，有a5+a4a3a2=axa=9，即a=，y=a6+a7=ax2=，x（1，+），求导数可得y=，令y0可得x2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+）单调递增，当x=2时，y=a6+a7取最小值：36故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13不等式3的解集是【考点】一元二次不等式的应用【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集【解答】解：由3，得30，即，则，解得：x0或不等式3的解集是故答案为：14在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率【考点】几何概型【分析】事件“x2+y2”包含的基本事件对应的图形为图中扇形面积O

15、HK内部，所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，求出它们的面积并利用几何概型公式，即可算出所求概率【解答】解：设两数分别为x、y，则所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，其面积为S=1；记“两数平方和不大于”为事件B，则B=“x2+y2”，事件B包含的基本事件为图中扇形面积OHK内部，其半径为、圆心角是直角，面积为S=事件B发生的概率为P（B）=故答案为：15设等差数列an的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30=【考点】等差数列的性质【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解

16、S30的值【解答】解：数列an是等差数列，则S10，S20S10，S30S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得220=10+S3030，S30=60故答案为：6016平行四边形ABCD中，BAD=60，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=+（，R），则+的最大值为【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出【解答】解： =+丨丨2=（+）2，=2丨丨2+2丨丨2+2，=2丨丨2+2丨丨2+2丨丨丨丨cosBAD，由BAD=60，AB=1，AD=，AP=，=2+22+，（+）2=+（）2，+，故答案为：三、解答题：

17、本大题共7小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布【分析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量（2）第一问做出的样本容量可以把上面的过程写出来（3）根据

18、上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率【解答】解：（1）从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12样本容量是=150第二小组的频率是=0.08 （2）样本容量是=150 （3）次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1）=132全体高一学生的达标率为=0.8818已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC（1）求角C的值；（2）若c=4，a+b=7，求SABC的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理与和差化

19、积即可得出（2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosCsinC=sin（A+B）=2sinCcosC，sinC0，cosC=，C（0，），（2）由余弦定理：c2=a2+b22abcosC，即，ab=11，19已知数列an满足a1=1，an+1an=2，等比数列bn满足b1=a1，b4=a4+1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过a1=1、an+1an=2可知数列

20、an是首项为1、公差为2的等差数列，进而计算即得结论；（2）通过（1）可知cn=（2n1）2n1，利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）a1=1，an+1an=2，an=1+2（n1）=2n1，b1=a1=1，b4=a4+1=8，公比q=2，bn=2n1；（2）由（1）可知cn=anbn=（2n1）2n1，Sn=120+321+（2n1）2n1，2Sn=121+322+（2n3）2n1+（2n1）2n，错位相减得：Sn=1+2（21+22+2n1）（2n1）2n，Sn=12（21+22+2n1）+（2n1）2n=12+（2n1）2n=3+（2n3）2n20已知函数f（x）=x22x8，g

21、（x）=2x24x16，（1）求不等式g（x）0的解集；（2）若对一切x2，均有f（x）（m+2）xm15成立，求实数m的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）（m+2）xm15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围【解答】解：由g（x）=2x24x160，得x22x80，即（x+2）（x4）0，解得2x4所以不等式g（x）0的解集为x|2x4；（2）因为f（x）=x22x8，当x2时，f（x）（m+2）xm15成立，则x22x8（m+2）xm15成立，即x24x+7m（x1）所以对一切x

22、2，均有不等式成立而（当x=3时等号成立）所以实数m的取值范围是（，221ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，），=（cos2B，1）且（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求ABC的面积SABC的最大值【考点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数【分析】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式

23、求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：（1）=（2sinB，），=（cos2B，2cos21），且，2sinB（2cos21）=cos2B，即2sinBcosB=sin2B=cos2B，tan2B=，B（0，），2B（0，），2B=，即B=；（2）B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2ac4=0，又a2+c22ac，代入上式得：ac4（当且仅当a=c=2时等号成立），SABC=acsinB=ac（当且仅当a=c=2时等号成立），则SABC的最大值为22数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1an，

24、nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn；（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意nN*，均有成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【分析】（1）由条件an+2=2an+1an，可得，从而an为等差数列，利用a1=8，a4=2可求公差，从而可求数列an的通项公式；（2）利用102n0则n5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；（3先裂项求和，再根据对任意nN*成立，得对任意nN*成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数m=7【解答】解：（1）由题意，an为等差数列，设公差为d，由题意得2

25、=8+3dd=2，an=82（n1）=102n（2）若102n0则n5，n5时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=n6时，Sn=a1+a2+a5a6a7an=S5（SnS5）=2S5Sn=n29n+40故（3）若对任意nN*成立，即对任意nN*成立，的最小值是，m的最大整数值是7即存在最大整数m=7，使对任意nN*，均有23已知A，B是函数f（x）=+log2的图象上任意两点，且=（+），点M（，m）（I）求m的值；（II）若Sn=f（）+f（）+f（），nN*，且n2，求Sn（III）已知an=，其中nN*Tn为数列an的前项和，若Tn（Sn+1+1）对一切nN*都成立，试求的取值范围【考

26、点】数列与函数的综合；数列的求和【分析】（1）可知M是AB的中点，根据中点坐标公式求得x1和x2的关系，代入函数解析式即可求得m的值；（2）由（1）可知，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，采用倒序相加法，即可求求得Sn；（3）由题意可知当n2时，求得数列an的前n项和Tn，由Tn（Sn+1+1），采用分离变量即可求得的表达式，即可求得的取值范围【解答】解：（1），M是AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x1+x2=1，则x1=1x2，x2=1x1，而=，=，=（2）由（1）知：x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，两式相加，得： =，（n2，nN）（3）当n2时，由Tn（Sn+1+1），得，对任意n2，nN*都成立，当且仅当n=2时等号成立，故的取值范围是（，）xx10月14日