2022年高考数学一轮复习 4.2 函数与方程教案 新课标

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1、2022年高考数学一轮复习 4.2 函数与方程教案 新课标【知识归纳】1函数零点的定义：方程有实根函数图象与轴有交点函数有零点。2函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（1）定理：如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的实数根。（2）变号了一定有零点（能证明f(x)单调则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。3怎样求零点：即为求解方程的根？解一：利用计算器或计算机作的对应值表、若在区间上连续，并且有，那么函数在区间内至少有一个实数根、若能证明在单调性，则在有且只有一个零

2、点、再在其它区间内同理去寻找。解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用。4用二分法求函数零点近似值的步骤：在给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤是：（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算：若=0，则c就是函数的零点，计算终止；若，则令b=c（此时零点）；若则令a=c（此时零点。(用列表更清楚)（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值；否则重复（2）（4）。说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；用二分法求函

3、数的零点近似值必须用上节的三种方法之一先求出零点所在的区间。【典型例题】一、确定零点的个数例1（1）二次函数中，则函数的零点个数是（ ）A1个 B2个 C0个 D无法确定分析：分析条件，是二次项系数，确定抛物线的开口方向，所以，由此得解。解：因为，所以，即与异号，即或所以函数必有两个零点，故选B。（2）函数的零点个数为_。解：可由试根法求得的一根为，从而可得，由函数的零点个数为3个。例2 函数的零点所在的大致区间是（ ）A（1，2） B（2，3） C和（3，4） D分析：从已知的区间，求和，判断是否有。解：因为，故在（1，2）内没有零点，非A。又，所以，所以在（2，3）内有一个零点，选B。例2

4、下列函数中，在区间1，2上有零点的是解析：直接求出x=1，符合首先判断一元二次函数的零点个数，通过求所对应方程判别式的大小：0,且,零点 即判断与的交点情况，需要画图，并判断交点所在区间 同理，判断与的交点情况答案例4 试证明函数在上有且仅有一个零点。证明：且，而函数在区间上是连续不断的在区间内有零点。又，在上是一个单调递增函数。如果函数有不仅一个的零点，可设为它的两个不等的零点，则有，这与在上是一个单调递增函数矛盾，函数在上有且仅有一个零点。二、求函数零点的近似值例5求方程在区间内的实数解。（ 精确到0.01）解：考察函数由于，函数在内存在零点，即方程在区间内有解。取0，2的中点1， 方程在

5、1，2内有解，又所以在区间存在零点，方程在1，1.5内有解，如此下去，取区间作为计算器的初始区间。用二分法逐次计算列表如下：区间中点坐标中点函数值取区间0.51.250.251.3750.1251.31250.06251.343750.031251.3281250.0156251.32031250.0078125，至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间内，因为该区间的所有值精确到0.01的都是1.32，所以1.32是函数精确到0.01的一个近似零点。例6已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，（1）求函数的表达式。（2）证明：当时，关于

6、的方程有三个实数解。解：（1） （2）由得，即：，在同一坐标系作出和的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，的图象是以为顶点，开口向下的抛物线。因此，与的图象在第三象限有一个交点。即有一个负数解。又，当时，当时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方。与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解。因此，方程有三个实数解。方法二：由得，因式分解为：，即：或，又不是的根，故可化为：，只须证明和不是的根，且具有两个不等的实根。【作业】1已知关于的方程2= 0有实数解，求实数的取值范围。答案：042已知二次函数（1）若，且，试证明必有两个零点。（2）若对于且，方程有两个不

7、等的实根，证明必有一实根属于。证明：（1）又，即，又，方程有两个不等实根，所以函数有两个实根。（2）令，则，在内必有一实根，即在内必有一实根。3已知关于x的二次函数(1)求证：对于任意，方程必有实数根；(2)若，求证：方程在区间上各有一个实数根(1)由知必有实数根.或由得必有实数根 (2)当时，因为，所以方程在区间上各有一个实数根4已知，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析t，8，f(t)，3原题转化为：0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x2时，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3问题转化为g(m)在m，3上恒对于0，则：；解得：x2或x1评析：首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。