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1、2022年高中数学课时天天提分练14平面向量的基本定理北师大版必修一、选择题(每小题5分，共5630分)1设a，b是不共线的两个非零向量，已知2apb，ab，a2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A1 B2C2 D1答案：D解析：2ab，2apb，由A，B，D三点共线，知存在实数，使2apb2ab.a，b不共线，p1.2在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若e1，e2，则()A.(e1e2) B.(e1e2)C.(2e2e1) D.(e2e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.3若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A6
2、0 B120C30 D150答案：A解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量a与b的夹角也是60.4如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()Aab与ab Ba2b与2abCab与ab Da与b答案：C解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而ab与ab共线，不能作为基底5如图，在OAB中，P为线段AB上一点，xy，且3，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y答案：D解析：由已知3，得3()，整理，得，故x，y.6设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，
3、使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2C3 D4答案：C解析：对于，若向量a、b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc故正确；对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数、，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a|、|b|、|c|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数确定，则一定存在单位向量c和实数满足abc，故正确；对于，如果给定的正数和不
4、能满足“以|a|，|b|、|c|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误故选C.二、填空题(每小题5分，共5315分)7设G是ABC的重心(即三条中线的交点)，a，b，试用a，b表示_.答案：ab.解析：延长AG交BC于D.()()()ab.8已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2与b2e13e2共线，则实数k_.答案：2或 解析：由题设，知，3k25k20，解得k2或.9在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.答案：解析：由题意，知，.又，所以，故，所以.三、解答题：(共35分，111212)10如图，在ABCD中，a，b，3，
5、M为BC的中点，试用a，b表示.解析：由3，知N为AC的四等分点.()ab.11已知(R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)(1)试以，为基底表示；(2)当时，试确定点P的位置解析：(1)，由得()()，(1).(2)当时，由(1)可知()，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点12如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点解析：设a，b，则ba，ba.因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数，R，使，.于是ab，ba.由得，(1)abab.因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1且.解得，.即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点
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